BPP问题分析与建模

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问题简述：

BPP问题是指一维装箱问题（Bin Packing Problem），也被称为装箱问题。在BPP问题中，有一组具有不同大小的物品需要装入一组容器中，每个容器的容量有限。核心是如何将一组物品放入容量有限的箱子中，使得所用的箱子数量最少。

问题分类：
1、一维装箱问题：最简单的形式，物品和容器都被简化为一维的长度或重量问题，目标是尽可能少地使用容器来装下所有物品。

2、二维装箱问题：扩展到二维平面，物品和容器都被视为矩形。问题的关键是如何在不重叠的情况下，最有效地利用矩形容器的空间。

3、三维装箱问题：进一步扩展到三维空间，涉及将不同大小的立方体物品装入立方体容器中。它在货物装载、仓储管理等方面有着重要应用。 

建模：

一维装箱问题建模：

给定：

       物品集合A={a1，a2……an},每个物品ai大小为Wi

       容器集合B={b1，b2……bn},每个容器容量为s。

引入变量：

       yi：表示容器bj是否被使用（1表示使用，0表示未使用）

       xij：表示物品ai是否被放入容器bj（1表示放入，0表示未被放入）

目标：

       最小化 使用容器数量 ：

约束条件：

       1、容量约束：每个容器已安装物品的总大小不能超过其容量

        2、物品放置约束：每个物品必须且只能被放入一个容器

（1）
初始化：打开第一个容器，并将其作为当前容器。

（2）
对于每个物品，按顺序进行如下操作：

•从第一个容器开始，逐个检查容器是否有足够的剩余空间容纳该物品。

•如果找到一个容器可以容纳物品，则将物品放入该容器中，并更新容器的剩余空间。

•如果所有容器都无法容纳物品，则打开一个新的容器，并将物品放入新的容器中。

（3）
重复步骤（2）
，直到所有物品都被处理完毕。

优缺点：
具有较高的容器利用率，即较少的剩余空间，然而，它可能导致容器的分布不均衡

例:

3、下一个适应方法（Next Fit，NF）始终尝试将当前物品放入上一个使用的箱子中。如果当前箱子不能容纳物品，则开启一个新箱子。

算法步骤：

  （1）.
初始化：打开第一个容器，并将其作为当前容器。

  （2）.
对于每个物品，按顺序进行如下操作：

•如果物品可以放入当前容器，则将物品放入当前容器中，并更新容器的剩余空间。

•如果物品无法放入当前容器，则关闭当前容器，打开一个新的容器，并将物品放入新的容器中，并将新容器设置为当前容器。

  （3）.
重复步骤
2
，直到所有物品都被处理完毕。

优缺点：简单且易于实现，同时具有较好的效率。然而，它可能导致容器利用率较低，即可能会产生较多的剩余空间。

例：