图解二进制（篇1）

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计算机基础笔记1

目录

原码

反码

补码

进制转换（二进制与十进制）

二进制运算（&|～^）

二进制加法

说明：以下均指8位二进制数形式

码码三剑客

在了解原码之前，先熟悉几个名词.。

机器数

数字在计算机中的二进制表现形式。分正负。

图解

真值

有符号数转二进制之后，其原来对应的值位真值，带符号的二进制转为其他进制之后的值称为*形式值*。

图解

注：红色的数字1是十进制-3转二进制之后的符号位

原码

符号位+真值的绝对值，即是带符号的二进制数

举例：

注意：八位二进制取值范围[-127,127]即为[1111 1111,0111 1111]

反码

• 正数的反码是它本身
• 负数的反码是在其原码基础上，符号位不变，其余位取反

图解：

补码

• 正数的补码是其本身
• 负数的补码是在原码基础上，符号位不变，其余位取反后加一
• 即等价于在反码基础上+1

图解

提示：二进制加法在后面会介绍

番外篇：为什么会有补码的出现？？？？

• 计算机中只有加法

从小学开始，亲爱的数学老师就告诉我们，在数学中，一个数减去另一个数

等于该数加上另一个数的相反数(负数)

• 举个栗子：用原码计算 1-1=1+(-1)=0

∴易知，利用二进制原码进行计算时，出现了错误的结果，显然1-1=0而不等于-2

你可能已经想到，既然原码不行，那么用反码怎么样？继续看…

• 举个栗子：用反码计算 1-1=1+(-1)=0

注意啦！！！

最后的计算结果是-0(负零)，虽然在数学上，0和-0可以等价，但在计算机中不行，因为已经有实例证出，两个二进制反码相减的结果等于-0的数并不唯一，了解更多，可以www.baidu.com，或者自己摸索。这里不再赘述。

∴ 在利用其反码进行计算时，也出现了不合理的结论，可见光有原码和反码并不完善，接下来有请压轴大佬补码出场。

由此,通过*补码*大佬的一番操作，终于将1-1=0证出，成功捍卫了二进制减法的地位！！！！

进制转换（二进制与十进制）

老规矩，正式进入内容之前，有必要了解一下几个相关的概念。

• 基数

数值位x进制，其基数就是x—这里给出个人笔记上理解，喜欢完整解释的自行 百度

举个栗子：十进制的基数位10，二进制的基数位2

• 权
  

  也称位权 数进制中每一位固定位置对应的单位值。

  举个栗子：

  十进制的第二位的权位 10，第三位权位100，类推成立

  二进制第二位的权位2

  第三位权位4 类推成立

总结：对于N进制数，整数部分第i位的权为
$$N^{(i-1)}$$

而小数部分第j位权为
$$N^{(-j)}$$

• 系数，基数，幂的图示

$$1234=1000+200+30+4=1\times 10^3+2\times 10^2+3\times 10^1+4\times 10^0=1234$$

十进制转二进制（整数）

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小结：记住除基倒取余 即确定基数，将原值一直除以基数再记录得到的余数，最后倒着将余数写出，根据情况补位即可完成转换。

二进制转十进制（整数）

• 补齐二进制位数（注意符号位：0表正，1表负）
• 将位数乘以对应的权值
• 相加即可

举个栗子：将二进制1010转十进制
$$\begin{gathered} 1010(二进制)=00001010 \\ =0\times 2^0=0 \\ =1\times 2^1=2 \\ =0\times 2^2=0 \\ =1\times 2^3=8 \\ =0+2+0+8 \\ =10(十进制) \end{gathered}$$

• 特别的，若补足位的二进制符号位为1时，要先取反再换算。
  $$\begin{gathered} eg:11101011(二进制)转十进制 \\ 1.取反：-00010100 \\ 2.转换 \\ 3.最后结果-20 \end{gathered}$$

小数和负数的进制转换后序更新…

按位与，或，异或，左右移运算

按位与（&）

图解：3 & 5 = 1

按位或|

图解：2 | 4 = 6

按位异或 ^

图解：6 ^ 7 = 1

按位非～

图解：～ （-5） = 4

左移运算<<

文解：(-5)<<2=(-20)

• 位移对象时进制数的补码
• 将二进制码左移x位，空出的位置用0填充

(-5)的补码：1111 1011 左移2位： 1110 1100 转位原码：1001 0100(-20) 

右移运算>>

文解：(-5)>>2

(-5)的补码：1111 1011 右移2位： 1111 1110 求出原码: 0000 0010(-2) 

注意：上述步骤中的求原码不是必须的，为了方便讲解而已。

二进制加法

• 两整数二进制相加时，从低位（右边）开始
• 依次对每一位进行加法运算
• 规则：1+1=10,1+0=1,0+0=0,0+1=1
• 注意1+1=10满足进位条件，需要向前一位进1，0写在本位

图解：23+13 = 36的二进制加法