动量与动量守恒_IT分享知识网

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外力的作用使质点产生加速度，运动状态发生变化；
力的作用需要持续一段时间，或者需要持续一段距离，这就是力对时间的累积作用和力对空间的累积作用；
质点或质点系的动量、动能或能量将发生变化或转移；
一定条件下，质点系内的动量或能量将保持守恒。

一、冲量

定义：力的作用对时间的积累；

计算： $\overrightarrow{I}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}dt$

方向：速度变化的方向

单位： $N \cdot s$

几何意义：由时间(t/s)-力(F/N)构建直角坐标系图形所围成的面积，如图：

变力下的积分运算：物体受到变力，则可将力正交分解为x,y/x,y,z方向上的力，进而求取冲量，计算如下：

$\vec{I}=I_x \hat{i}+I_y \hat{j}$ ，其中： $I_x=\int_{t_1}^{t_2} F_x \mathrm{~d} t$ ， $I_y=\int_{t_1}^{t_2} F_y \mathrm{~d} t$

冲量是表征力持续作用一段时间的累计效应；是具有大小和方向的矢量；同时为一种过程量，其是改变物理机械运动状态的原因。

平均冲力 $\overline{\vec{F}}$ ： $\overrightarrow{\vec{F}}=\frac{\vec{I}}{\Delta t}$

二、动量

2.1、动量的定义及动量定理

动量的定义：物体和物体之间接触的时候相互之间存在作用力，作用效应不仅与质量与关还与速度有关，将质量和速度的乘积定义为动量，单位为 $kg \cdot m /s$ （与冲量的单位相同，方向与速度方向相同。）

$\vec{p}=m\vec{v}$

动量定理：质点在一段时间内动量的增量等于在该时间内所受合力的冲量；

动量定理表明：物体动量的变化与冲量相联系。是由于力的持续作用，物体动量发生了变化。

$\vec{F} \mathrm{~d} t=\mathrm{d} \vec{p}$ （微分形式）， $\int_{t_1}^{t_2} \overrightarrow{\boldsymbol{F}} \mathrm{d} t=\int_{\vec{p}_1}^{\bar{p}_2} \mathrm{~d} \overrightarrow{\boldsymbol{p}}=\overrightarrow{\boldsymbol{p}}_2-\overrightarrow{\boldsymbol{p}}_1$ （积分形式）

例：棒球重0.5kg，以72公里/小时的速度飞向击球手，击球手击球后，球以144公里/小时的速度与原方向成60°夹角飞出。如球与棒的接触时间为0.1秒，试估计棒球受到的平均冲力。

解： $\Delta \vec{p}=m \Delta \vec{v}$ ， $\Delta p_x=m\left(v_{2 x}-v_{1 x}\right)=m\left(v_2 \cos 60^{\circ}-v_1\right)=0$ ，

$\Delta p_y=m\left(v_{2 y}-v_{1 y}\right)=m v_2 \sin 60^{\circ}=17.32$ ， $\Delta \vec{p}=17.32 \hat{j}(\mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{s})$

$\overline{\vec{F}}=\frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}=\frac{17.32}{0.1} \vec{j}=173.2 \vec{j}(\mathrm{~N})$

2.2、质点系的动量定理

质点系定义：由N (>2) 个质点组成的系统

质点系内力：系统内质点间的相互作用力；质点系外力：系统外物体对系统内某质点的作用力。

动量定理公式：单位时间质点系动量改变量，等于指点系内各质点内里作用力与外力作用力之和。由于质点系内内里作用力总为作用力与反作用力，如下图：

因此，质点系动量改变量仅取决于各质点受外力作用之和，可得公式：

$\sum \vec{F}_i=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\sum \vec{p}_i\right)$ ， $\vec{F}=\frac{\mathrm{d} \vec{p}}{\mathrm{~d} t}$

$\vec{I}=\int_{t_1}^{t_2} \vec{F} \mathbf{d} t=\vec{p}_2-\vec{p}_1$

2.3、动量守恒定律

定律：

三、动量定理

3.1、质点

$m \vec{a}= m \frac{d \vec{v}}{dt } = \frac{d(m \vec{v}) }{dt}=\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$

1）微分形式：

$d(m \vec{v}) = \vec{F}dt = d \vec{I}$

质点动量的增量等于作用于质点上的元冲量

2）积分形式

$m \vec{v_2} - m \vec{v_1} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F} d t = \vec{I}$

某一段时间内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。

3.2、n个质点的质点系

外力： $\vec{F}_i^{(e)}$ ，内力： $\vec{F}_i^{(i)}$

内力性质：

（1） $\sum \vec{F}_i^{(i)}=0$ 内力的合力为0

（2） $\sum \vec{M}_O( \vec{F}_i^{(i)}) =0$ 内力对任意一点力矩为0

（3） $\sum \vec{F}_i^{(i)} dt=0$ 内力的冲量之和为0

对于一个质点的动量有：

$d(m_i \vec{v}_i ) = \vec{F_i^{e}}dt + \vec{F_i^{i}}dt$

对于一个质点系：

$\sum d(m_i \vec{v}_i ) = \sum \vec{F_i^{e}}dt + \sum \vec{F_i^{i}}dt$

由于内力之和为0，因此对于一个质点系来说：

$d(\sum m_i \vec{v}_i ) =\sum \vec{F_i^{e}}dt$

1）微分形式

$d \vec{p} = \sum \vec{F}_i^{(e)} dt = \sum d \vec{I}_i^{(e)}$

即，

$\frac{d \vec{p}}{dt} = \sum \vec{F}_i^{(e)}$

2）积分形式

$d \vec{p} = \sum \vec{F}_i^{(e)} dt = \sum d \vec{I}_i^{(e)}$

当时间由t1到t2，动量由p1变为p2，可以得到：

$\vec{p}_2 - \vec{p}_1 = \sum_{i=1}^{n} \vec{I}_i^{(e)}$

质点系动量定理的积分形式：在某一时间间隔内，质点系动量的该变量等于在这段时间内作用质点系外力冲量的矢量和。

3.3、动量定理的标量形式

由3.1和3.2可以得到动量的两种计算等式：

$\frac{d \vec{p}}{dt} = \sum \vec{F}_i^{(e)}$ 和 $\vec{p}_2 - \vec{p}_1 = \sum_{i=1}^{n} \vec{I}_i^{(e)}$

动量定理微分形式的投影式为：

$\frac{d \vec{p}_x} {dt} = \sum \vec{F}_x^{(e)}$ ， $\frac{d \vec{p}_y} {dt} = \sum \vec{F}_y^{(e)}$ ， $\frac{d \vec{p}_z} {dt} = \sum \vec{F}_z^{(e)}$

动量定理积分形式的投影式：

$\vec{p}_{2x} - \vec{p}_{1x} = \sum_{i=1}^{n} \vec{I}_x^{(e)}$

$\vec{p}_{2y} - \vec{p}_{1y} = \sum_{i=1}^{n} \vec{I}_y^{(e)}$

$\vec{p}_{2z} - \vec{p}_{1z} = \sum_{i=1}^{n} \vec{I}_z^{(e)}$

四、动量守恒定律

当作用在质点系的外力矢量和为0的时候，动量守恒，即：

if $\sum \vec{F}^{(e)} \equiv 0$ ， $\vec{p}$ =constant vector；

if $\sum \vec{F}_x^{(e)} \equiv 0$ ， $\vec{p}_x$ =constant vector；

只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。

五、质心运动定理

根据上述的动量定理：

$\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{d} t}\left(\sum_{i=1}^n m_i \overrightarrow{\mathbf{v}}_i\right)=\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{d} t}\left(m \overrightarrow{\mathbf{v}}_C\right)=\sum_{i=1}^n \overrightarrow{\mathbf{F}}_i^{(e)}$

可以得到质心运动定理：

$m \frac{\mathbf{d} \overrightarrow{\mathbf{v}}_C}{\mathbf{d} t}=\sum_{i=1}^n \overrightarrow{\mathbf{F}}_i^{(e)}$ 或 $m \overrightarrow{\mathbf{a}}_C=\sum_{i=1}^n \overrightarrow{\mathbf{F}}_i^{(e)}$

质心运动定理：质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和。

内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心运动。

还可用投影形式进行表达：
$m a_{C x}=\sum F_x^{(e)} \quad m a_{C y}=\sum F_y^{(e)} \quad m a_{C z}=\sum F_z^{(e)}$

在自然轴上的投影式为：

$m \frac{\mathbf{d} v_C}{\mathbf{d} t}=\sum F_t^{(e)} \quad m \frac{v_C^2}{\rho}=\sum F_n^{(e)} \quad 0=\sum F_b^{(e)}$

质心运动守恒定律：

若 $\sum \overrightarrow{\mathbf{F}}^{(e)} \equiv \mathbf{0}$ ，则 $\overrightarrow{\mathbf{v}}_C$ 为常量；

若 $\sum F_x^{(e)} \equiv 0$ ，则 $v_{C x}$ 为常量。

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动量与动量守恒

一、冲量

二、动量

2.1、动量的定义及动量定理

2.2、质点系的动量定理

2.3、动量守恒定律

三、动量定理

3.1、质点

3.2、n个质点的质点系

3.3、动量定理的标量形式

四、动量守恒定律

五、质心运动定理

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