积分学＜5＞——微积分基本定理

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微积分基本定理

变上限积分

定义5.1 变上限积分

函数$F\left(x\right)={\int }_a^{x}f\left(t\right)dt$称为变上限积分,$x\in \left(a,b\right)$为自变量,$t$为参数。

引理5.1

函数$F\left(x\right)={\int }_a^{x}f\left(t\right)dt$连续,若被积函数$f\left(t\right)$在$\left[a,b\right]$连续,变上限积分$F\left(x\right)={\int }_a^{x}f\left(t\right)dt$的导数$F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$。

$$\begin{array}{lc}& {\lim }_{\Delta x\to 0}\left(F\left(\Delta x+x\right)-F\left(x\right)\right)\\ =& {\lim }_{\Delta x\to 0}\left({\int }_a^{x+\Delta x}f\left(t\right)dt-{\int }_a^{x}f\left(t\right)dt\right)\\ =& {\lim }_{\Delta x\to 0}\left({\int }_x^{x+\Delta x}f\left(t\right)dt\right)\end{array}$$
引用积分第一中值定理,令$g\left(x\right)=1$,
$${\int }_x^{x+\Delta x}f\left(x\right)g\left(x\right)dx=\{\begin{array}{cc}\eta \Delta x(\eta \in \left(m,M\right))& f\left(x\right)可积\\ f\left(\xi \right)\Delta x(\xi 位于x与x+\Delta x之间)& f\left(x\right)连续\end{array}$$
${\lim }_{\Delta x\to 0}\left(F\left(\Delta x+x\right)-F\left(x\right)\right)={\lim }_{\Delta x\to 0}\left({\int }_x^{x+\Delta x}f\left(t\right)dt\right)=0$,函数$F\left(x\right)={\int }_a^{x}f\left(t\right)dt$连续。
若被积函数$f\left(t\right)$在$\left[a,b\right]$连续,则${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{F\left(x+\Delta x\right)-F\left(x\right)}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0}f\left(\xi \right)={\lim }_{\xi \to x}f\left(\xi \right)=f\left(x\right)$。

定理5.1 微积分基本定理(Newton-Lebniz公式)

${\int }_a^{b}f\left(t\right)dt=F\left(b\right)-F\left(a\right)$。

设${\int }_a^{x}f\left(t\right)dt=F\left(x\right)+C$($C\in \mathbb{R}$),
令$x=a$,$C=-F\left(a\right)$,${\int }_a^{x}f\left(t\right)dt=F\left(x\right)-F\left(a\right)$,
令$x=b$,${\int }_a^{b}f\left(t\right)dt=F\left(b\right)-F\left(a\right)$。