两个圆公切线求法_两个圆的公切线

两个圆的公切线

圆上任意一点拥有唯一的圆心角

struct circle{

Point p;

double r;

// 通过圆心角求圆上某一点

Point point(double a){

return Point(p.x + cos(a) * r, c.y + sin(a) * r);

}

}

根据两个圆的位置关系来确定情况

两个圆内含，没有公共点，没有公切线

两圆内切，有一个条公切线

两圆完全重合，有无数条公切线

两圆相交。有2条公切线

两圆外切，有3条公切线

两圆相离，有4条公切线

1 与 3 什么都不求，情况 2 可以直接求出直线AB的极角进而转换为圆心角来求切点，连接切点和圆心，旋转90度即可得到切线。

情况 4 有两条外公切线，求出圆心距 \(d\) 以及\(|AG|\) 即可求出 \(\alpha\) 的大小，根据 \(\vec{AB}\) 的极角进行旋转即可求出切点，进而得到切线

情况 5 的内切线类似情况2

情况 6 的外公切线与情况4完全一样

情况 6 的内切线也是先求出圆心角 \(\alpha\) ，如何求？\(\cos \alpha = \frac{A_r+B_r}{|AB|}\)

// a[i] 存放第 i 条公切线与 圆A 的交点

int getTangents(circle A, circle B, Point*a, Point *b){

int cnt = 0;

// 以A为半径更大的那个圆进行计算

if(A.r < B.r) return getTangents(B, A, b, a);

db d2 = (A.p-B.p).len2(); // 圆心距平方

db rdiff = A.r – B.r;// 半径差

db rsum = A.r + B.r;//半径和

if(d2 < rdiff * rdiff) return 0; // 情况1，内含,没有公切线

Vector AB = B.p – A.p;// 向量AB，其模对应圆心距

db base = atan2(AB.y, AB.x);// 求出向量AB对应的极角

if(d2 == 0 && A.r == B.r) return -1;// 情况3，两个圆重合，无限多切线

if(d2 == rdiff * rdiff){ // 情况2，内切，有一条公切线

a[cnt] = A.point(base);

b[cnt] = B.point(base);cnt++;

return 1;

}

// 求外公切线

db ang = acos((A.r – B.r) / sqrt(d2)); //求阿尔法

// 两条外公切线

a[cnt] = A.point(base+ang); b[cnt] = B.point(base+ang); cnt++;

a[cnt] = A.point(base-ang); b[cnt] = B.point(base-ang); cnt++;

if(d2 == rsum * rsum){ // 情况5，外切，if里面求出内公切线

a[cnt] = A.point(base); b[cnt] = B.point(pi+base); cnt++;

}

else if(d2 > rsum * rsum){//情况6，相离，再求出内公切线

db ang = acos((A.r + B.r) / sqrt(d2));

a[cnt] = A.point(base + ang); b[cnt] = B.point(pi+base+ang);cnt++;

a[cnt] = A.point(base – ang); b[cnt] = B.point(pi+base-ang);cnt++;

}

// 此时，d2 < rsum * rsum 代表情况 4 只有两条外公切线

return cnt;

}