【高数（上）】极限

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极限

数列极限

引入

割圆术
正6*2^n-1形的面积➡圆的面积

数列极限定义

几个重要极限

数列极限的性质

唯一性

每个收敛的数列只有一个极限

有界性

收敛的数列必定有界
（有界?：E有界 等价于 E既有上界又有下界 等价于 存在M>0,使得对任意x∈E，有|x|<=M）

收敛→有界（√）
无界→发散（√）
有界→收敛（?）×

举例子
数列Xn=(-1)ⁿ⁺¹有界但不收敛

子数列的收敛性

保序性

四则运算

只对有限个收敛数列可用

收敛+收敛=收敛
收敛+发散=发散
发散+发散≠发散（不一定）

{（-1）ⁿ}和{（-1）ⁿ⁺¹}都发散
{（-1）ⁿ+（-1）ⁿ⁺¹}={0}收敛

数列收敛的判别

夹挤定理或两边夹定理

单调有界原理

单调有界数列必有极限

Cauchy准则

函数极限

有限点处的极限

定义

单侧极限

极限存在 等价于 左极限存在，右极限存在，左极限值=右极限值=极限值

定义验证极限

无限点处的极限

函数极限运算和性质（⭐）

唯一性

局部有界

保序

四则运算

容易出错

有理函数极限

夹逼定理

海涅定理

有时候会用

复合函数

结

很简单，多练。