[MIT]Calculus 16|二阶微分方程解的形式、举例

老牧童 • 2025-03-26 20:20 • 未分类

[MIT]Calculus 16|二阶微分方程解的形式、举例本文介绍了函数求导的基本规则包括三角函数一次函数和常数的导数特性以及如何根据二阶导的值确定原函数的形式

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目录

引言、函数求导

一、二阶微分方程

二、二阶微分方程举例

引言、函数求导

$e^{x}: \frac{\mathrm{d\left ( e^{x} \right )} }{\mathrm{d} x}=e^{x}$

$cos\left ( x \right ): \frac{\mathrm{d\left ( cos\left ( x \right ) \right )} }{\mathrm{d} x}=-sin,-cos,sin,cos,...$

$sin\left ( x \right ):\frac{\mathrm{d} \left ( sin\left ( x \right ) \right )}{\mathrm{d} x}=cos,-sin,-cos,sin,...$

$x:\frac{\mathrm{d} \left ( x \right )}{\mathrm{d} x}=1,0$

$C=\frac{\mathrm{d} \left ( C \right )}{\mathrm{d} x}=0,0$

通过以上求导公式，我们得出结论：

$e^{x}$ 求导之后为本身；
三角函数求导，每4次一个循环。二阶导为负的本身；
一次函数的二阶导为0。当然，常数的二阶导也为0。

一、二阶微分方程

$m\frac{\mathrm{d^{2}} y }{\mathrm{d} t}+2r\frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d} t}+ky=0$

假设有以下三种情况：

$\frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d} t}=-ay,a=\frac{k}{2r}$

求导之后含本身的，原函数要包含 $e^{t}$ —— $y=Ce^{-at}$ 。

2. r=0

$\frac{\mathrm{d^{2}} y}{\mathrm{d} t^{2}}=-\omega ^{2}y$

求二阶导为负的本身，原函数应包含cos，sin—— $y=Ccos\left ( \omega t \right )+Dsin\left ( \omega t \right )$ 。

3. r=0,k=0

$\frac{\mathrm{d^{2}} y}{\mathrm{d} t^{2}}=0$

求二阶导为0的，原函数必包含一次t—— 。

二、二阶微分方程举例

仍然采用原二阶微分方程，通过给定不同的变量参数，得到不同的微分方程解。

$m\frac{\mathrm{d^{2}} y }{\mathrm{d} t}+2r\frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d} t}+ky=0$

先求个通解。假设 $y=e^{\lambda t}$ ，则带入上式可以得到

$m\lambda ^{2}+2r\lambda +k=0$

$\lambda =\frac{-r+\sqrt{r^{2}-km}}{m}$

这里完美发挥了一阶导系数2的作用。下面举一些具体的例子：

$\lambda ^{2}+6\lambda +8=0\Rightarrow \lambda =-2,-4$

解得

$y(t)=Ce^{-2t}+De^{-4t}$

实数——指数函数——衰减率

2.

$\lambda ^{2}+6\lambda +10=0\Rightarrow \lambda =-3\pm i$

解得

$y(t)=Ce^{(-3+i)t}+De^{(-3-i)t}$

虚数——三角函数——振荡

3.

$\lambda ^{2}+6\lambda +9=0\Rightarrow \lambda =-3,-3$

解得

$y(t)=Ce^{-3t}+Dte^{-3t}$

重根——一次函数——增加

注：欧拉公式

$e^{it}=cos(t)+isin(t)$

$e^{-it}=cos(t)-isin(t)$

$y(t) = Ce^{(-3+i)t}+De^{(-3-i)t} = Ce^{-3t}e^{it}+De^{-3t}e^{-it} =(C+D)e^{-3t}cos(t)+(C-D)ie^{-3t}sin(t)$

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