牛顿二项式定理学习(广义二项式定理)

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牛顿二项式定理

二项式定理

对于一个这样的式子:$(x+y{)}^n$

展开式如下:

$$(x+y{)}^n=\sum _{i=0}^n{(}_i^n)x^{n-i}{y}^i$$

其中${(}_i^n)=\frac{n(n-1)...(n-i+1)}{i!}$

牛顿二项式定理

牛顿二项式定理是对二项式定理的扩展,通过牛顿二项式定理可以得到$(x+y{)}^{\alpha }$

的展开式，其中$\alpha$是任意实数。

设$\alpha$为任意实数,$x,y$满足$0\le |x|<|y|$,有

$$(x+y{)}^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{(}_k^{\alpha })x^k{y}^{\alpha -k}$$

设$z=x/y,|z|<1$,那么$(x+y{)}^{\alpha }=y^{\alpha }(1+z{)}^{\alpha }$,那么等价于求

$(1+z{)}^{\alpha }$即可。

$$(1+z{)}^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{(}_k^{\alpha })z^k$$

设$n$为正整数，我们用$-n$代替$\alpha$,有

${(}_k^a)={(}_k^{-n})=\frac{-n(-n-1)...(-n-k+1)}{k!}=(-1{)}^k{(}_k^{n+k-1})$

因此，对于$|z|<1$有:

$$(1+z{)}^{-n}=\frac{1}{(1+z{)}^n}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k{(}_k^{n+k-1})z^k$$

用$-z$代替$z$得:
$$(1-z{)}^{-n}=\frac{1}{(1-z{)}^n}=\sum _{k=0}^{\infty }{(}_k^{n+k-1})z^k$$

若$n=1$得:

$$(1+z{)}^{-1}=\frac{1}{(1+z)}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k{z}^k$$

$$(1-z{)}^{-1}=\frac{1}{(1-z)}=\sum _{k=0}^{\infty }{z}^k$$

利用这个式子我们就可以求任意精度的开根操作了。

例如求$\sqrt{20}$

$\sqrt{20}=\sqrt{4+16}=(4+16{)}^{\frac{1}{2}}=4(1+0.25{)}^{\frac{1}{2}}$

然后展开即可。

求$\sqrt{20}$的程序

 /* Author:galaxy yr LANG:C++ Created Time:2019年10月04日 星期五 16时15分42秒 */ #include<iostream> const int maxn=3005; long double x,c[maxn][maxn]; long double C(double a,double k) { 
    long double res=1; for(double i=a;i>=a-k+1;i--) res*=i; for(double i=1;i<=k;i++) res/=i; return res; } long double solve() { 
    long double x=1.25,a=0.5,z=x-1; if(z<0)z=-z; long double s=1,ans=0; for(int k=0;k<=170;k++) { 
    ans+=C(a,k)*s; s*=z; } return 4*ans; } int main() { 
    std::cout<<solve()<<std::endl; return 0; }