7种常见分布的数学期望及其证明

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1.数学期望

（1）数学期望定义

离散型随机变量数学期望

定义1 设离散型随机变量$X$的分布律为$P(X=x_i)=p_i,i=1,2\dots$，若级数${\sum }_{i=1}^{+\infty }\mid x_i\mid p_i$收敛，则称${\sum }_{i=1}^{+\infty }{x}_i{p}_i$为$X$的数学期望。记为$E(X)$。即：
$$EX=\sum _{i=1}^{+\infty }{x}_i{p}_i。$$
连续型随机变量数学期望

定义2 设连续型随机变量$X$的密度函数为$p(x),$若积分${\sum }_{-\infty }^{+\infty }\mid x\mid p(x)dx<+\infty$，则称${\sum }_{-\infty }^{+\infty }xp(x)dx$为$X$的数学期望或均值，记为$EX$。即：
$$EX=\sum _{-\infty }^{+\infty }xp(x)dx。$$

（2）常用分布的数学期望

1. 0-1分布

$$E(X)=0\ast (1-p)+1\ast p.$$

2. 二项分布

$X\sim B(n,p)$，其中$0<p<1$，则：
$$E(X)=np.$$
证明：
P { x = k } = C n k p k ( 1 − p ) n − k E ( X ) = ∑ k = 0 n k P ( X = k ) = ∑ k = 1 n k n ! k ! ( n − k ) ! p k ( 1 − p ) n − k = ∑ k = 1 n n ! ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! p k ( 1 − p ) n − k = n p ∑ k = 1 n ( n − 1 ) ! ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! p k − 1 ( 1 − p ) n − 1 − ( k − 1 ) 令 s = k − 1 , n p ∑ s = 0 n − 1 C n − 1 s p s ( 1 − p ) n − 1 − s = n p . P\{x=k\}=C_n^{k}p^k(1-p)^{n-k} \\ E(X)=\sum_{k=0}^{n}kP(X=k)=\sum_{k=1}^{n}k\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}\\ =\sum_{k=1}^{n}\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}\\ = np\sum_{k=1}^{n}\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}(1-p)^{n-1-(k-1)}\\ 令s=k-1,\\ np\sum_{s=0}^{n-1}C^{s}_{n-1}p^{s}(1-p)^{n-1-s}=np. P{
x=k}=Cnk​pk(1−p)n−kE(X)=k=0∑n​kP(X=k)=k=1∑n​kk!(n−k)!n!​pk(1−p)n−k=k=1∑n​(k−1)!(n−k)!n!​pk(1−p)n−k=npk=1∑n​(k−1)!(n−k)!(n−1)!​pk−1(1−p)n−1−(k−1)令s=k−1,nps=0∑n−1​Cn−1s​ps(1−p)n−1−s=np.

3. 泊松分布

$X\sim P(\lambda )$，其中$\lambda >0$，则$E(X)=\lambda$。

证明：
P { X = k } = λ k k ! e − λ , k = 0 , 1 , 2 , . . . , ∴ E ( X ) = ∑ k = 0 ∞ k ⋅ λ k k ! e − λ = ∑ k = 1 ∞ k ⋅ λ k k ! e − λ = ∑ k = 1 ∞ λ ⋅ λ k − 1 ( k − 1 ) ! e − λ = λ ⋅ ∑ k = 1 ∞ λ k − 1 ( k − 1 ) ! e − λ m = k − 1 , ∴ λ ⋅ ∑ m = 0 ∞ λ m m ! e − λ = λ ⋅ 1 = λ P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,2,…,\\ \therefore E(X)=\sum_{k=0}^{\infin}k \cdot \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}=\sum_{k=1}^{\infin}k\cdot\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}\\ =\sum_{k=1}^{\infin} \frac{\lambda\cdot\lambda^{k-1}}{(k-1)!}e^{-\lambda}=\lambda\cdot\sum_{k=1}^{\infin}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}e^{-\lambda}\\ m=k-1,\therefore\lambda\cdot\sum_{m=0}^{\infin}\frac{\lambda^{m}}{m!}e^{-\lambda}=\lambda\cdot1=\lambda P{
X=k}=k!λk​e−λ,k=0,1,2,…,∴E(X)=k=0∑∞​k⋅k!λk​e−λ=k=1∑∞​k⋅k!λk​e−λ=k=1∑∞​(k−1)!λ⋅λk−1​e−λ=λ⋅k=1∑∞​(k−1)!λk−1​e−λm=k−1,∴λ⋅m=0∑∞​m!λm​e−λ=λ⋅1=λ
注意，${\sum }_{m=0}^{\infty }\frac{{\lambda }^m}{m!}$为$e^{\lambda }$的幂级数展开式。

4. 均匀分布

若$X\sim U(a,b)$，则$E(x)=\frac{a+b}{2}$。

证明：

$X$的密度：$p(x)=\{\begin{array}{rl}\frac{1}{b-a},& \text{a<x<b}\\ 0,& \text{其他}\end{array}$
$$E(X)={\int }_a^{b}x\cdot \frac{1}{b-a}dx=\frac{a+b}{2}.$$

5. 指数分布

$X\sim E(\lambda )$，$\lambda >0$，则$E(X)=\frac{1}{\lambda }$。

证明：

$p(x)=\{\begin{array}{rl}\lambda e^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$
$$\begin{gathered} E(X)={\int }_0^{\infty }x\lambda e^{-\lambda x}dx=-{\int }_0^{\infty }xd{e}^{-\lambda x} \\ =-x{e}^{-\lambda x}{\mid }_0^{\infty }+{\int }_0^{\infty }{e}^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda }. \end{gathered}$$

6.正态分布

$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则$E(X)=\mu$.

证明：
$$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx$$
令$\frac{x-\mu }{\sigma }=u$，
$$\begin{gathered} E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }(u\sigma +\mu )\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{u^2}{2}} \\ =\frac{\sigma }{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }u{e}^{-\frac{u^2}{2}}du+\mu {\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{u^2}{2}}du \\ =0+\mu \ast 1=\mu \end{gathered}$$

7. 几何分布

$X\sim \text{参数为p的几何分布}$，$E(X)=\frac{1}{p}$。

证明：
P { X = k } = p ( 1 − p ) k − 1 k = 1 , 2 , . . . P\{X=k\}=p(1-p)^{k-1}\uad k=1,2,… P{
X=k}=p(1−p)k−1k=1,2,…

$$\begin{gathered} E(X)=\sum _{k=1}^{\infty }kp(1-p{)}^{k-1}{=}^{x=1-p}p\sum _p^{+\infty }k{x}^{k-1} \\ =p\sum _{k=1}^{+\infty }(x^k{)}^{{}^{\prime }}=p(\sum _{k=1}^{+\infty }{x}^k{)}^{{}^{\prime }} \\ =p(\frac{x}{1-x}{)}^{{}^{\prime }}=p\frac{1}{(1-x{)}^2}{=}^{x=1-p}\frac{1}{p} \end{gathered}$$