数学中的虚数 i 和电学中的虚数 j 溯源

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虚数

虚数是扩展实数概念的一类数，能够解决某些在实数范围内无法解决的问题。

虚数的基本单位是 $i$，定义为：

$i=\sqrt{-1}$

这意味着 $i$ 的平方是 $-1$ ：

$i^2=-1$

在数学中，有些方程在实数范围内没有解。

例如，方程

$x^2+1=0$

在实数范围内没有解，因为没有任何实数的平方等于 $-1$ 。

然而，通过引入虚数 $i$，可以找到这个方程的解：

$x^2=-1$

$x=\pm i$

复数

虚数与实数结合形成复数。

复数的形式是：

$z=a+bi$

其中，$a$ 是实数部分，$b$ 是虚数部分，$i$ 是虚数单位。

数学中的虚数单位 i 和电学中的虚数单位 j

在数学中，虚数单位通常用 $i$ 来表示，定义为

$i=\sqrt{-1}$

但是在电学和工程学中，尤其是涉及到电路分析和信号处理时，虚数单位通常用 $j$ 来表示。

这种不同的表示法主要是为了避免与电流表示符号 $I$ 的混淆，因为在电学中，电流通常用 $I$ 来表示。

如果虚数单位也用 $i$ ，会导致理解上的混淆。因此，工程师和电气工程领域的学者们采用 $j$ 来表示虚数单位。

举例

• 数学中：复数 $z$ 可以表示为

  $z=a+bi$，

  其中 $a$ 和 $b$ 是实数部分和虚数部分。

• 电学中：同样的复数 $z$ 可以表示为

  $z=a+bj$，

  其中 $a$ 和 $b$ 是实数部分和虚数部分。

实际应用

虚数和复数在许多科学和工程领域中有广泛应用，特别是在电学、信号处理和控制系统中。例如：

1. 交流电路分析：在分析交流电路时，电压和电流常用复数表示，以便于计算相位和幅值。
2. 信号处理：在处理信号时，复数可以用于表示和分析不同频率成分。
3. 控制系统：在设计和分析控制系统时，使用复数和虚数有助于理解系统的稳定性和响应特性。

通俗易懂的解释

• 假设游戏中的角色：想象你在玩一个游戏，地图上有横向和纵向的坐标。实数就像横向坐标，表示你在地面上走的距离。虚数则像纵向坐标，表示你在飞翔或潜水的距离。复数就是把这两个坐标结合在一起，表示你在一个更大的空间中的位置。
• 现实生活中的例子：假设你开车去某个地方，实数表示你在地图上的距离，而虚数表示你在上下坡时的高度变化。通过结合这两种信息（复数），你可以准确描述你的行驶路径。

小结

虚数是数学中扩展实数的一类数，能够解决许多实数范围内无法解决的问题。它们与实数结合形成复数，在科学和工程中有重要的应用。通过理解虚数和复数，我们能够更好地分析和解决各种复杂的问题。在数学中，虚数单位常用 $i$ 表示，而在电学中，虚数单位则常用 $j$ 表示，以避免与电流表示符号 $I$​ 混淆。

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• 数学中的虚数单位 i 和电学中的虚数单位 j_虚数单位是i还是j-CSDN博客 深泓点于 2024-06-16 19:25:40

  数学中的虚数 i 和电学中的虚数 j 溯源

为什么数学用 i 表示虚数，但是在电路中我们用 j 表示虚数

数学中用 $i$ 表示虚数单位，而在电路分析中用 $j$ 表示虚数单位，这背后有历史和实用性的原因。

数学中的 $i$

在数学中，虚数单位 $i$ 定义为满足

$i^2=-1$

这种表示法最早由瑞士数学家莱昂哈德・欧拉（Leonhard Euler）在 18 世纪提出并推广。

$i$ 在复数的表示中非常普遍，例如，复数 $a+bi$ 中，$a$ 是实数部分，$bi$ 是虚数部分。

电路分析中的 $j$

在电路分析和工程领域，通常用 $j$ 来表示虚数单位。

表示法源于以下原因：

1. 避免混淆 ：在电路分析中，$i$ 通常用来表示电流（current）。为了避免电流和虚数单位之间的混淆，工程师们选择使用 $j$ 来表示虚数单位。
2. 历史惯例 ：这种表示法已经成为电气工程领域的惯例，并被广泛接受和使用。早期的电气工程师们在制定相关符号时，为了简化计算和减少误解，决定采用 $j$ 作为虚数单位。
3. 标准化 ：为了确保文献和交流中的一致性，工程领域统一使用 $j$ 表示虚数单位。这种标准化有助于不同领域的专业人员之间的沟通和理解。

总结

因此，数学和电路分析中分别使用 $i$ 和 $j$ 表示虚数单位的主要原因在于避免符号混淆和遵循领域内的标准惯例。通过这种区分，不同领域的专业人员可以更清晰地进行沟通和计算。

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• 为什么数学用 $i$ 表示虚数，但是在电路中我们用 $j$ 表示虚数 硬件十万个为什么 2024-06-22 19:35 浙江

  https://mp.weixin..com/s/ww0ASACORFD3v2IF0lp_8g

篇外：溯源讨论

注：机翻，未校。

讨论 1

The symbol $i$ is still used in mathematics; $j$ is an invention of an electrical engineers, usually attributed to Charles P. Steinmetz. See for example Introduction of ı \imath and ȷ \jmath notations for the imaginary unit
符号 $i$ 仍在数学中使用；$j$ 是电气工程师的发明，通常归因于 Charles P. Steinmetz。例如，参见 $ı$ 和 $ȷ$ 虚数单位的引入

As to why $j$ was chosen, the following is quoted from a 1921 book, “Tables of Complex Hyperbolic and Circular Functions” by Arthur Edwin Kennelly. I am sure older ones will also explain the same.
关于为什么选择 $j$，以下内容引用了 Arthur Edwin Kennelly 在 1921 年出版的《Tables of Complex Hyperbolic and Circular Functions》一书中的内容。我相信更早的文献也会对此作出相同的解释。

In pursuance of time-honored terminology, the axis – $XOX$ is sometimes called the”real” axis, and – $YOY$ the “imaginary,” axis; so that the x-component of acomplex number becomes the “real component,” and the y-component the “imaginary component.” The symbol $i$ still stands for the imaginary component. In mathematicsas applied to electrical engineering, the symbol $i$ commonly designates electric current-strength, and so, in order to prevent the possibility of confusion, the symbol $j$ isfrequently substituted as the sign of the imaginary. Under such a convention, theplane-vector,or complex quantity, $O{P}_1$, would be represented as $I+j^2$. As, however,in this book we necessarily consider complex quantities from a broader view point thanthat offered by electrical engineering, we shall use the symbol $i$ to denote the imaginary component, perpendicularly rotated with respect to the fundamental $X$ axis.

根据传统术语，-$XOX$ 轴有时被称为 “实” 轴，而 –$YOY$ 轴则被称为 “虚” 轴；因此，一个复数的 $x$ 分量被称为 “实分量”，$y$ 分量为 “虚分量”。符号 $i$ 仍然代表虚分量。在应用于电气工程的数学中，符号 $i$ 通常表示电流强度，因此为了防止可能的混淆，符号 $j$ 常常被用作虚数的表示。在这种约定下，平面向量或复数量 $O{P}_1$ 可以表示为 $I+j^2$ 。然而，由于本书必须从比电气工程所提供的更广泛的视角考虑复数量，我们将使用符号 $i$ 来表示与基本 $X$ 轴垂直旋转的虚分量。

My feeling is that since $j$ was chosen by a German-born American (Steinmetz), it may be possible to attribute the similarity of $i$ and $j$ in German e.g. Iodine (symbol $I$ ) is Jod (symbol $J$) in German. However the letter i was also introduced by Gauss, who happened to be German, but at that time, Latin was the language of science. This is just my pure speculation.
我的感觉是，由于 $j$ 是由一位德裔美国人（Steinmetz）选择的，因此可以推测 $i$ 和 $j$ 之间的相似性可能与德语有关。例如，碘在德语中是 Jod（符号 $J$ ），而其英文符号是 $I$ 。而字母 $i$ 也是高斯引入的，而他恰好也是德国人，但在那个时代，拉丁语是科学的语言。这只是我的纯粹推测。

edited May 27, 2019 at 16:54 answered May 27, 2019 at 16:41

via:

• notation – Who changed $i$ to $j$ in electronics? – History of Science and Mathematics Stack Exchange

  https://hsm.stackexchange.com/questions/9654/who-changed-i-to-j-in-electronics

讨论 2

Introduction of $ı$ and $ȷ$ notations for the imaginary unit

The imaginary unit is generally denoted $i$ or $ı$. I have learned that the term imaginary (“imaginaires”) was coined by R. Descartes in 1637, and the $i$ notation was introduced by L. Euler (cf. Short History of Complex Numbers). In engineering and physics, the notation $j$ or $ȷ$ is often used. Some say it was used to limit confusions with the current, often denoted $i$ or $I$ , as noted at Electric current:
虚部通常用 $i$ 或 $ı$ 。我了解到，虚数（“imaginaires”）一词是由 R. Descartes 在 1637 年创造的，$i$ 符号是由 L. Euler 引入的（cf. Short History of Complex Numbers）。在工程和物理学中，符号 $j$ 或 $ȷ$ 是经常使用的。有人说它被用来限制与电流的混淆，通常表示为 $i$ 或 $I$ ，如电流中所述：

虚数单位通常表示为 $i$ 或 $ı$ 。我了解到，“虚数”（法语中的“imaginaires”）这个术语是由 R. Descartes 在 1637 年创造的，而 $i$ 的符号notation 是由 L. Euler 引入的（cf. Short History of Complex Numbers）。在工程和物理学中，通常使用 $j$ 或 $ȷ$ 作为符号。有些人认为，这是为了减少与电流（通常用 $i$ 或 $I$ 表示）之间的混淆，如电流中所述：

The conventional symbol for current is $I$ , which originates from the French phrase intensité de courant, meaning current intensity .

电流的常规符号是 $I$ ，它起源于法语短语 intensité de courant，指电流强度。

在法语中，“intensité de courant” 和 “intensité du courant” 都可以用来描述电流的强度。

1. “intensité de courant” 强调电流作为一个物理量的特性。指的是电流的基本属性或特征。
2. “intensité du courant” 描述特定情况下具体电路的电流特性，指的是在某个特定的电路或系统中电流的强度。

My questions are: 我的问题是：

Was the $ı$ (or $i$) notation used before Euler?
$ı$（或 $i$）的符号在欧拉之前是否已使用？

Who introduced the $ȷ$ (or $j$) notation?

谁引入了 $ȷ$ （或 $j$ ） 符号？

The use of $i$ (or Greek $ı$) for the imaginary symbol is nearly universal in mathematical work, which is a very strong reason for retaining it in the applications of mathematics in electrical engineering. Aside, however, from the matter of established conventions and facility of reference to mathematical literature, the substitution of the symbol $j$ is objectionable because of the vector terminology with which it has become associated in engineering literature, and also because of the confusion resulting from the divided practice of engineering writers, some using $j$ for +$i$ and others using $j$ for −$i$.

在数学工作中，使用 $i$（或希腊字母 $ı$）作为虚数单位是非常普遍的，这也是在电气工程中的应用中保留该符号的一个很强的理由。然而，除了遵循既定的惯例和方便引用数学文献外，替代符号 $j$ 是不可取的，因为它与工程文献中已经建立的向量术语相关联，并且由于工程作者的用法不一致而导致混淆，有些人将 $j$ 用作 +$i$，而另一些人则将 $j$ 用作 −$i$。

So the story is not fully new, and we could date the $j$ before 1911.
这个故事并不是全新的，我们可以追溯到 1911 年之前就已经有了 $j$ 的使用。

edited Apr 13, 2017 at 12:47 asked Aug 10, 2016 at 8:26 Laurent Duval

In my experience, the imaginary unit is generally denoted $i$ (or in Europe i) and almost never denoted $ı$.
根据我的经验，虚部通常用虚数表示 $i$ （或在欧洲 $i$ ），并且几乎从未表示过 $ı$

– [Gerald Edgar Commented Aug 10, 2016 at 13:43

@PeterDiehr – The use of Phasor notation using the lower case letter j was first used in Power Systems Analysis texts by Charles P. Steinmetz in the early 1900s. Steinmetz died in 1923 so his work certainly predated your reference specifying 1940-1945. All Power System EEs learn this bit of history in their course work.
@PeterDiehr – 小写字母 $j$ 的相量表示法是在 20 世纪初由 Charles P. Steinmetz 在电力系统分析教材中首次使用的。Steinmetz 1923 年去世，因此他的工作肯定早于您提到的 1940-1945 年的参考资料。所有电力系统工程师（EE）在他们的课程学习中都会了解到这一历史事实。

– K7PEH Commented Aug 11, 2016 at 2:37

@K7PEH I have added a reference of a similar discussion from 1911.

@K7PEH 我添加了对 1911 年类似讨论的引用。

– [Laurent Duval Commented Aug 11, 2016 at 20:58

it wasn’t intensity, Laurent. it was current. as in

这不是强度，Laurent。它是电流。如：

$v$​ = $iR$

or

$p$​ = $vi$​ = $i^{2}R$​​​

that’s what i have been told, from the beginning, why EE’s use “$j$” for the imaginary unit instead of “$i$”.

这就是我从一开始就被告知的，为什么电气工程师（EE）使用 “$j$” 作为虚数单位而不是 “$i$” 。

$i(t)=I{e}^{j\omega t}$

$i(t)=I{e}^{i\omega t}$

更令人困惑。

– robert bristow-johnson Commented Aug 29, 2016 at 18:24

In answer to your second part of the question regarding $j$ for $\sqrt{-1}$, this notation was introduced into textbooks describing Power System Analysis of AC power circuits in the early 1900s by Charles P. Steinmetz.I am not sure of the earliest date, but my guess is between the late 1890s and 1920s, certainly no later than 1923, as Steinmetz died in 1923.
对于您关于 $j$ 代表 $\sqrt{-1}$ 的第二部分问题，这种符号是在 20 世纪初由 Charles P. Steinmetz 引入到描述交流电路功率系统分析的教材中的。我不确定最早的日期，但我猜测是在 1890 年代末到 1920 年代之间，肯定不会晚于 1923 年，因为 Steinmetz 于 1923 年去世。

Steinmetz is to Power Systems Engineers (EEs) as Einstein and $E=m{c}^2$ is to physicists (and everyone else for that matter).

Steinmetz 之于电力系统工程师（EE），就如爱因斯坦和 $E=m{c}^2$ 之于物理学家（以及与此相关的所有其他人来说都是如此）。

answered Aug 11, 2016 at 2:44

I doubt it that the $i$ notation would have been used for $\sqrt{-1}$ before Euler because even Euler himself did not start using it until a rather late date, and moreover used i in a different sense namely for an infinite integer, in his Introductio and Institutiones.
我怀疑在欧拉之前，$\sqrt{-1}$ 的表示法会使用 $i$ 符号，因为即使是欧拉本人也直到很晚才开始使用这个符号。此外，他在Introductio 和 Institutiones 中将 $i$ 用于不同的意义，即表示一个无限整数。

answered Aug 10, 2016 at 8:44 Mikhail Katz

via:

• mathematics – Introduction of $ı$ and $ȷ$ notations for the imaginary unit – History of Science and Mathematics Stack Exchange

  https://hsm.stackexchange.com/questions/5082/introduction-of-imath-and-jmath-notations-for-the-imaginary-unit