【scipy】菲涅尔积分和羊角螺线

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菲涅尔积分简介

菲涅尔积分一般被写为$S(x)$和$C(x)$，定义为

$$\begin{gathered} S(x)={\int }_0^x\sin (t^2)\text{d}t=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)} \\ C(x)={\int }_0^x\cos (t^2)\text{d}t=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)} \end{gathered}$$

接下来在scipy中调用fresnel，并绘制其曲线

import numpy as np from scipy.special as ss xs = np.arange(-500,500)/100 s, c = ss.fresnel(xs) plt.plot(xs, s) plt.plot(xs, c) plt.show() 

效果为

复数域的菲涅尔积分

scipy中的fresnel的定义域可拓展到复数域，则当其自变量为复数时，其函数图像如下

绘图代码为

fig = plt.figure() ax = fig.add_subplot(2,3,1,projection='3d') ax.plot_surface(xs, ys, np.real(c)) ax.set_title("real(c)") ax = fig.add_subplot(2,3,2,projection='3d') ax.plot_surface(xs, ys, np.imag(c)) ax.set_title("imag(c)") ax = fig.add_subplot(2,3,3,projection='3d') ax.plot_surface(xs, ys, np.abs(c)) ax.set_title("abs(c)") ax = fig.add_subplot(2,3,4,projection='3d') ax.plot_surface(xs, ys, np.real(s)) ax.set_title("real(s)") ax = fig.add_subplot(2,3,5,projection='3d') ax.plot_surface(xs, ys, np.imag(s)) ax.set_title("imag(s)") ax = fig.add_subplot(2,3,6,projection='3d') ax.plot_surface(xs, ys, np.abs(s)) ax.set_title("abs(s)") plt.show() 

也可以绘制其实部的为彩图，

xs, ys = np.indices([300,300])/100-1.5 s, c = ss.fresnel(xs + 1j*ys) fig = plt.figure() fig.add_subplot(1,2,1) plt.imshow(np.real(c), cmap=plt.cm.prism) plt.axis('off') fig.add_subplot(1,2,2) plt.imshow(np.real(s), cmap=plt.cm.prism) plt.axis('off') plt.show() 

出图如下

羊角螺线

Fresnel积分但看上去似乎平平无奇，但二者一经结合，就会出现神奇的效果，这里甚至不需额外的操作，只需将二者之间的关系一一对应起来即可

plt.scatter(np.real(s), np.real(c), marker='.') plt.show() 

可以得到一个好像翅膀的图像

如果将实数的菲涅尔积分的s与c分量的对应关系画出，则会得到所谓的羊角螺线

绘图代码为

xs = np.arange(-500,500)/100 s, c = ss.fresnel(xs) plt.plot(s,c) plt.grid() plt.show()