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矩阵迹的有关公式
1. 迹的定义
设矩阵 A = [ a i j ] A=[ a_{ij}] A=[aij]为大小为 n × n n\times n n×n的矩阵，矩阵 A A A的迹定义如下：
t r ( A ) = ∑ i = 1 n a i i tr(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ii} tr(A)=i=1∑naii
2. 常用公式
公式1：两个矩阵乘积的迹： t r ( A B ) = t r ( B A ) tr(AB) = tr(BA) tr(AB)=tr(BA)
公式2：三个矩阵乘积的迹：
t r ( A B C ) = t r ( C A B ) = t r ( B C A ) tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA) tr(ABC)=tr(CAB)=tr(BCA)
公式3： t r ( A ) = t r ( A T ) tr(A) = tr(A^T) tr(A)=tr(AT)
3. 迹的求导
公式4 矩阵乘积的迹的求导：
∂ t r ( A B ) ∂ A = ∂ t r ( B A ) ∂ A = B T \frac{\partial tr(AB)}{\partial A} = \frac{\partial tr(BA)}{\partial A} = B^T ∂A∂tr(AB)=∂A∂tr(BA)=BT
公式5 矩阵转置乘积的求导：
∂ t r ( A T B ) ∂ A = ∂ t r ( B A T ) ∂ A = B \frac{\partial tr(A^TB)}{\partial A} = \frac{\partial tr(BA^T)}{\partial A} = B ∂A∂tr(ATB)=∂A∂tr(BAT)=B
公式6 包含两个变量矩阵的求导（自身及转置）：
∂ t r ( A B A T C ) ∂ A = C A B + C T A B T \frac{\partial tr(ABA^TC)}{\partial A} = CAB + C^TAB^T ∂A∂tr(ABATC)=CAB+CTABT
证明：
分布求导，可得：
∂ t r ( A B A T C ) ∂ A = ∂ t r ( A B A T C ) ∂ A + ∂ t r ( A T C A B ) ∂ A \frac{\partial tr(ABA^TC)}{\partial A} =\frac{\partial {tr(ABA^TC)}}{\partial{A}} + \frac{\partial{tr(A^TCAB)}}{\partial{A}} ∂A∂tr(ABATC)=∂A∂tr(ABATC)+∂A∂tr(ATCAB)
又
∂ t r ( A B A T C ) ∂ A = ( B A T C ) T = C T A B T \frac{\partial {tr(ABA^TC)}}{\partial{A}} = (BA^TC)^T=C^TAB^T ∂A∂tr(ABATC)=(BATC)T=CTABT
且
∂ t r ( A T C A B ) ∂ A = C A B \frac{\partial{tr(A^TCAB)}}{\partial{A}} = CAB ∂A∂tr(ATCAB)=CAB
所以，
∂ t r ( A B A T C ) ∂ A = C A B + C T A B T \frac{\partial tr(ABA^TC)}{\partial A} = CAB + C^TAB^T ∂A∂tr(ABATC)=CAB+CTABT
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