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一、关于这个公式的名称
和两点间的中点公式一样，定比分点公式是一种给出中点坐标的公式。定比分点应该理解为：“固定比例分割点的坐标公式”，中点公式是他的一种特殊情况。我们可以用它寻找三角形的内心、质心和外心。它是在一个线段中按照固定比例将线段分为两部分。在二维坐标系下：
截点公式（Section Formula）的翻译其实更加好理解，就是一个点将线段截成两段。该公式可以告知任何一个固定比例的点在坐标系的位置。
二、 λ \lambda λ是一个不为负一实数
λ ∈ ( − ∞ , − 1 ) ⋃ ( − 1 , + ∞ ) \lambda\in(-\infty,-1)\bigcup(-1,+\infty) λ∈(−∞,−1)⋃(−1,+∞)，当 λ = 1 \lambda=1 λ=1时，截点公式变成中点公式。
三、证明
已知两点， A ( x 1 , y 1 , z 1 ) A(x_1,y_1,z_1) A(x1,y1,z1)和 B ( x 2 , y 2 , z 2 ) B(x_2,y_2,z_2) B(x2,y2,z2)以及实数 λ ≠ − 1 \lambda\ne-1 λ=−1在直线 A B AB AB中求点 M M M，使
A M → = λ M B → (1) \overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{MB}\tag{1} AM=λMB(1)
解：如上图，由于
A M → = O M → − O A → ， M B → = O B → − O M → \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM} AM=OM−OA，MB=OB−OM
因此， O M → − O A → = λ ( O B → − O M → ) \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\lambda(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}) OM−OA=λ(OB−OM)
从而， O M → = 1 1 + λ ( O A → + λ O B → ) \overrightarrow{OM}=\frac{1}{1+\lambda}(\overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{OB}) OM=1+λ1(OA+λOB).
代入 O A → \overrightarrow{OA} OA和 O B → \overrightarrow{OB} OB的坐标，（即 A A A B B B点的坐标），可得：
O M → = ( x 1 + λ x 2 1 + λ , y 1 + λ y 2 1 + λ , z 1 + λ z 2 1 + λ ) (2) \overrightarrow{OM}=(\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda},\frac{z_1+\lambda z_2}{1+\lambda})\tag{2} OM=(1+λx1+λx2,1+λy1+λy2,1+λz1+λz2)(2)
扩展： λ \lambda λ决定分点位置
λ \lambda λ是不为 − 1 -1 −1的所有实数，它可以表示与线段 A B AB AB共线的所有坐标。
- λ ∈ [ 0 , + ∞ ] \lambda\in[0,+\infty] λ∈[0,+∞]， M M M在线段内，即内分点。
- λ ∈ ( − ∞ , − 1 ) ⋃ ( − 1 , 0 ) \lambda\in(-\infty,-1)\bigcup(-1,0) λ∈(−∞,−1)⋃(−1,0)，在线段外，即外分点。（不等于负一的负数）
可以证明，当 λ ∈ ( − ∞ , − 1 ) \lambda\in(-\infty,-1) λ∈(−∞,−1)是正向点（起点指向终点的延长外分点）；当 λ ∈ ( − 1 , 0 ) \lambda\in(-1,0) λ∈(−1,0)是反向点（终点指向起点的延长外分点）。特别的，在线段 A B AB AB上：
- 当 λ = 1 \lambda=1 λ=1时， M M M是线段 A B AB AB的中间点;
- 当 λ = 0 \lambda=0 λ=0时， M M M是线段 A B AB AB的起点（ A A A）
- 当 λ → + ∞ \lambda\rightarrow +\infty λ→+∞， M M M是线段 A B AB AB的终点（ B B B）
λ \lambda λ参数含义不太直观，令：
u = λ 1 + λ ( λ ≠ − 1 ) (3) u=\frac{\lambda}{1+\lambda}\quad (\lambda\ne-1)\tag{3} u=1+λλ(λ=−1)(3)
可以证明， u u u可以表示线段 A M AM AM占整段 A B AB AB运行的百分比，它将线段 A B AB AB分为比例为 u : u − 1 u:u-1 u:u−1两部分，百分比与 λ \lambda λ系数的转换：
λ = u 1 − u ( u ≠ 1 ) λ = 0 ( u = 1 ) \begin{aligned} &\lambda=\frac{u}{1-u}\quad (u\ne1)\\ &\lambda=0\quad (u=1)\\ \end{aligned} λ=1−uu(u=1)λ=0(u=1)将 ( 3 ) (3) (3) 代入 ( 2 ) (2) (2) 有：
O M → = ( ( 1 − u ) x 1 + u x 2 , ( 1 − u ) x 2 + u y 2 , ( 1 − u ) z 1 + u z 2 ) = ( 1 − u ) O A → + u O B → (4) \begin{aligned} \overrightarrow{OM}&=((1-u)x_1+ux_2,(1-u)x2+uy_2,(1-u)z_1+uz_2)\\ &=(1-u)\overrightarrow{OA}+u\overrightarrow{OB} \end{aligned}\tag{4} OM=((1−u)x1+ux2,(1−u)x2+uy2,(1−u)z1+uz2)=(1−u)OA+uOB(4)形式变得较为简洁，更重要的是， u u u参数的几何含义更加明显。
- u ∈ ( − ∞ , 0 ) u\in(-\infty,0) u∈(−∞,0)，M在线段 A B AB AB左侧；
- u ∈ [ 0 , 1 ] u\in[0,1] u∈[0,1]，M在线段 A B AB AB上；
- u ∈ ( 1 , + ∞ ) u\in(1,+\infty) u∈(1,+∞)，M在线段 A B AB AB右侧。
参数 u u u的值越大，越靠近向量 A B AB AB右侧。重要的是， u u u是全体实数，不同于之前 λ ≠ − 1 \lambda\ne-1 λ=−1。
【】修改了几个明显错误的地方。
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