伴随矩阵九大公式

老牧童 • 2025-03-08 21:25 • 未分类

伴随矩阵九大公式这篇博客详细阐述了矩阵的伴随矩阵及其性质包括伴随矩阵的定义逆矩阵的另一种表述可逆矩阵的伴随矩阵计算以及伴随矩阵的行列式性质

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

1 公式一

伴随矩阵定义式，也是判定方式

和原矩阵同阶的可交换方阵；

和原矩阵相乘结果是行列式值和单位矩阵之积。

2 公式二

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*$

逆矩阵的另外一种定义方式；

3 公式三

对于可逆矩阵

$A^* = |A|A^{-1}$

可以求出可逆矩阵的伴随矩阵。

4 公式四

$(A^{-1})^* = (A^*)^{-1} = \frac{1}{|A|}A$

伴随矩阵的逆矩阵和你矩阵的伴随矩阵相等，都等于原矩阵除以其行列式的值。

5 公式五

根据伴随矩阵的构成，以及代数余子式的性质：

转置矩阵的伴随等于伴随矩阵的转置

公式五推广

$((A^{-1})^*)^T = ((A^T)^{-1})^*$

转置、伴随和求逆三者任意排列组合复合运算结果相等

6 公式六

我们知道：

$AA^* = A^* A = |A|E = \begin{bmatrix} |A| & & \\ & ...& \\ & & |A| \end{bmatrix}$

两边同时取行列式

$|A^*| = |A|^{n-1}$

上面的证明前提条件是A是可逆的（在约掉 |A| 时，默认了其值不为0）

但是伴随矩阵存在与否与A是否可逆无关，因此上述方法只能证明A是非奇异矩阵（也就是可逆矩阵）的情况。

继续接着：证明

用 $A - \lambda E$ 替换A

$|A - \lambda E| |(A - \lambda E)^*| = |A - \lambda E|^n$

存在 t”> 时， $A - \lambda E$ 是可逆矩阵

$|(A - \lambda E)^*| - |A - \lambda E|^{n - 1} = 0$

对于任意 $\lambda$ 使得等号左端的有限次多项式恒为0，令 $\lambda = 0$

$|A^*| = |A|^{n-1}$

因此就有公式六： $|A^*| = |A|^{n-1}$

伴随矩阵的行列式值等于原矩阵行列式值的 n-1次方；

一个矩阵行列式值若不为0，则它的伴随矩阵的行列式值必然不为0；

矩阵可逆和它的伴随可逆互为充要条件

7 公式七

两矩阵之积的伴随等于矩阵伴随的反向之积

如果A和B可逆：

$(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|}(AB)^* = \frac{1}{|A||B|}B^*A^* = \frac{1}{|B|}B^* \frac{1}{|A|}A^* = B^{-1}A^{-1}$

如果两矩阵可逆，二者之积的逆等于两者逆矩阵的反向之积

8 公式八

$(kA)^* = k^{n-1}A^*$

给矩阵乘以常数倍后求伴随，相当于该矩阵的伴随乘以常数的n-1次方

9 公式九

= 2″>

一个矩阵伴随的伴随等于它行列式的n-2次方乘以它本身

免责声明：本站所有文章内容,图片，视频等均是来源于用户投稿和互联网及文摘转载整编而成，不代表本站观点，不承担相关法律责任。其著作权各归其原作者或其出版社所有。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容,侵犯到您的权益，请在线联系站长,一经查实,本站将立刻删除。本文来自网络,若有侵权，请联系删除，如若转载，请注明出处：https://haidsoft.com/152355.html

赞 (0)

0

教程分享：制作产品手册的详细指南来啦

上一篇 2025-03-08 21:20

内存和字节

下一篇 2025-03-08 21:26

发表回复

关注微信