整环中有关素元、不可约元、极大理想、素理想的关系

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一、交换幺环中，定义素理想

1. 极大理想中不含单位元

因为一旦理想中包含了单位元，它乘以$R$中的任何元素都将属于该理想，也就是任何元素都是该理想的元素，该理想就是$R$，从而不再是极大理想。

2. 极大理想是子环（一定含零元）

这是因为极大理想的加法和乘法运算都是封闭的。

3. 极大理想都是素理想

证明思路：对于$a\in R、b\in R、ab\in I$，若$a\notin I、b\notin I$，那么$I+(a)=R、I+(b)=R$，从而$a+i_a=1、b+i_b=1$，然后利用$(a+i_a)(b+i_b)=1$，可得出矛盾。

二、一般整环中

1. 素元都是不可约元

证明思路：设$ab=p$，从而$p|a\vee p|b$，从而$a=p{u}_a\vee b=p{u}_b$，通过带入计算，由于整环不含零因子，可得$a、b$是可逆元或者$p$的伴随元。

2. $R/I$是整环$\iff I$是素理想

证明思路：因为是整环，所以不含零因子，从而$I$是素理想；$I$是素理想，若$ab\in I$，也就是$(a+I)(b+I)=0+I$，那么 $(a+I)=0+I\vee (b+I)=0+I$，从而$R/I$不含零因子。

3. 当$I\ne R$时，$R/I$是域$\iff I$是极大理想

证明思路：因为域中每个元素都含逆元，任取$a\notin I$，可得$(a+I)(b+I)=1+I$，从而$1\in ((a)+I)$，即$(a)+I=R$；因为$I$是极大理想，所以$(a)+I=R$，也就能找到$b$满足$ab=1+i$，从而找到了$(a+I)$的逆元$(b+I)$满足$(a+I)(b+I)=1+I$。

4. $p$是素元$\iff (p)$是非零素理想

证明思路：$(p)$中的元素$a$都意味着$p|a$，“生成的主理想”$⟺$“两元素存在整除关系”。

三、特殊整环：欧几里得整环 $\subseteq$ 主理想整环 $\subseteq$ 唯一因子分解整环

1. 在主理想整环中，素元$⟺$不可约元（用于证明 主理想整环 $\subseteq$ 唯一因子分解整环）

证明思路：主要是证明不可约元是素元，对于任意的$p|ab$，有$(a,p)、(b,p)$是极大理想$(p)$或者$R=(1)$，从而得出$a\sim p\vee b\sim p$，也就是$p|a\vee p|b$。

2. 在唯一因子分解整环中, 素元$⟺$不可约元

这个通过因子排列规律、伴随元定义可以得到。

3. 在主理想整环中，$p$是不可约元 $⟺(p)$是极大理想

证明思路：考虑$a|p$，根据极大理想的定义和不可约的定义，可得$a\sim 1\vee a\sim p$。