全增量与全微分

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全增量：
设函数$z = f(x,y)$在点 $P(x,y)$的某邻域内有定义，则有$P_2(x + \Delta x, y + \Delta y)$为邻域内一点，$P与P_2$的函数值之差称为函数在点 $P$ 对应于自变量增量 $\Delta x、\Delta y$ 的全增量，记做 $\Delta z$：

$$\Delta z = f(x + \Delta x, y+\Delta y) - f(x, y)$$

全微分：

充分条件：
如果函数$z=f(x,y)$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x} 、 \frac{\partial z}{\partial y}$在点$(x, y)$连续，那么该函数在该点可微分。
(连续：多元函数的偏导数在一点连续是指：偏导数在该点的某个邻域内存在，于是偏导数在这个邻域内有定义，且这个函数求偏导后是连续的，则称函数在某点连续)

必要条件：
如果函数$z=f(x,y)$在点$x,y$可微分，那么该函数在点$(x,y)$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x} 与 \frac{\partial z}{\partial y}$必定存在，且函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全微分等于它的所有偏微分之和：

$$dz = \frac{\partial z}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial z}{\partial y} \Delta y = \frac{\partial z}{\partial x}d x + \frac{\partial z}{\partial y} d y$$