全增量与全微分

全增量与全微分全增量 设函数 z f x y z f x y z f x y 在点 P x y P x y P x y 的某邻域内有定义 则有 P2 x x y y P2 x x y y P 2 x D

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全增量:
设函数 z=f(x,y) z = f ( x , y ) 在点 P(x,y) P ( x , y ) 的某邻域内有定义,则有 P2(x+Δx,y+Δy) P 2 ( x + Δ x , y + Δ y ) 为邻域内一点, PP2 P 与 P 2 的函数值之差称为函数在点 P P 对应于自变量增量
ΔxΔy

Δ x Δ y
全增量,记做 Δz Δ z

Δz=f(x+Δx,y+Δy)f(x,y) Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y )

全微分:

充分条件:
如果函数 z=f(x,y) z = f ( x , y ) 的偏导数 zxzy ∂ z ∂ x 、 ∂ z ∂ y 在点 (x,y) ( x , y ) 连续,那么该函数在该点可微分。
(连续:多元函数的偏导数在一点连续是指:偏导数在该点的某个邻域内存在,于是偏导数在这个邻域内有定义,且这个函数求偏导后是连续的,则称函数在某点连续)

必要条件:
如果函数 z=f(x,y) z = f ( x , y ) 在点 x,y x , y 可微分,那么该函数在点 (x,y) ( x , y ) 的偏导数 zxzy ∂ z ∂ x 与 ∂ z ∂ y 必定存在,且函数 z=f(x,y) z = f ( x , y ) 在点 (x,y) ( x , y ) 的全微分等于它的所有偏微分之和:

dz=zxΔx+zyΔy=zxdx+zydy d z = ∂ z ∂ x Δ x + ∂ z ∂ y Δ y = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y

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