高等数学第三讲: 一元函数微分学的概念

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第三讲 一元函数微分学的概念

1.导数的定义

本节很重要，同时也很难，在学习的过程中需要积累一些结论

导数的定义：自变量增加一个Δx(可正可负），Δx趋近于0，函数增量和自变量增量的比值存在，则称y=f(x)在x0处可导。这个极限值叫y=f(x)在x₀处的导数。

导数定义的公式：
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$$
$$令x_0+\Delta x=x得，\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f（x_0）}{x-x_0}$$

若f(x)在一点可导，则f(x)在该点连续，反之未必。

1.1 连续，可导，可微之间的关系

1. 可导可微之间是互推的，所以讨论连续的时候，只讨论可导和连续之间的关系就可
2. 可导必连续，反之未必。

某点可导，某点必连续。某个函数可导，某个函数必连续。

1.2 相关知识积累

1. 绝对值为零的点
2. 分段函数分段点
3. 以及求导后分母为零的点

2.可导能推出存在切线，但是反之不行。

3.常用的一些反例积累：

(1) y=|x|

4.绝对值在某点处可导的充要条件结论

结论来源：武忠祥高等数学辅导讲义57页

5.f(x)和｜f(x)｜连续，可导的关系总结

结论来源：张宇高等数学18讲(强化)91页

2.导数的几何意义

导数的几何意义：
函数变化的速率，函数切线斜率值构成的函数，导数值对应函数该点切线斜率值

如何证明导数存在？

3.高阶导数

高阶导数就是在导数的定义的基础上，函数值变成了导数值，二阶导数就是一阶导数值，以此类推。
$$f^{\prime \prime }\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x_0+\Delta x\right)-f^{\prime }\left(x_0\right)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)-f^{\prime }\left(x_0\right)}{x-x_0}$$

注意：

1. f(x)在点x₀处有二阶导数，则f(x)在x₀的某个邻域内有一阶导数且f’(x)在x₀处连续
2. 如果f(x)在点x₀处有n阶导数，则f(x)在x₀的某个邻域内有1～（n-1）阶的各阶导数。

4.微分

概念：

微分也是在∆x趋近0的情况产生的，明确一点，∆x和dx本质是一样的是x趋近于0的变化，∆y和dy本质是不同的，∆y是真实的变化，dy是我们线性化后得到的简化版的∆y。

∆y=A∆x+o(∆x)，o(∆x)这个更高阶的无穷小，我们可以理解为减去他，只是在书写上用的加法，类似于两个图形的重叠部分，两个图形足够小，他们的重叠部分只会更小，如果o(∆x)与∆x做极限等于0，也就说明o(∆x)可以被省略，也就是说明该点处存在微分，即∆y=A∆x ，∆y与∆x做极限的值=A， 其实也就是A=该点的导数值，即∆y=f’(x)∆x