【知识点3】分数的四则运算

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目录

• 一、分数的表示和化简
• • 分数的表示
  • 分数的化简
• 二、分数的四则运算
• • 分数的加法
  • 分数的减法
  • 分数的乘法
  • 分数的除法
• 三、分数的输出
• 四、题型训练
• 五、参考文档

所谓分数的四则运算是指，给定两个分数的分子和分母，求它们加减乘除的结果。下面先介绍如何表示和化简一个分数。

一、分数的表示和化简

分数的表示

对一个分数而言，最简洁的写法就是写成假分数的形式，即无论分子比分母大或者小，都保留其原数。因此可以使用一个结构体来存储这种只有分子和分母的分数：

struct Fraction{ 
    int up,down; }; 

于是就可以定义Fraction类型的变量来表示分数，或者定义数组来表示一堆分数。其中需要对这种表示制定三种规则：

1. 使down为非负数。如果分数为负，那么令分子up为负即可。
2. 如果该分数恰为0，那么规定其分子为0，分母为1.
3. 分子和分母没有除了1以外的公约数。

分数的化简

分数的化简主要用来使Fraction变量满足分数表示的三项规定，因此化简步骤也分为一下三步：

1. 如果分母down为负数，那么令分子up和分母down都变成相反数。
2. 如果分子up为0，那么令分母down为1.
3. 约分：求出分子绝对值与分母绝对值的最大公约数d，然后令分子分母同时除以d。

代码如下·：

Fraction reduction(Fraction result){ 
    if(result.down < 0){ 
    result.up = -result.up; result.down = -result.down; } if(result.up == 0){ 
    result.down = 1; }else{ 
    int d = gcd(abs(result.up),abs(result.down)); result.up /= d; result.down /= d; } return result; } 

二、分数的四则运算

注意：分数的四则运算最后都是化简！！！

分数的加法

对于两个分数f1和f2，其加法计算公式为

$result=\frac{f1.up\ast f2.down+f2.up\ast f1.down}{f1.down\ast f2.down}$

代码如下：

Fraction add(Fraction f1,Fraction f2){ 
    //分数f1加上分数f2  Fraction result; result.up = f1.up * f2.down + f2.up * f1.down; //分数和的分子  resuln.down = f1.down * f2.down; //分数和的分母  return reduction(result); //返回结果分数，注意化简  } 

分数的减法

对两个分数f1和f2，其减法计算公式为
$result=\frac{f1.up\ast f2.down-f2.up\ast f1.down}{f1.down\ast f2.down}$
代码如下：

Fraction minu(Fraction f1,Fraction f2){ 
    Fraction result; result.up = f1.up * f2.down - f2.up * f1.down; result.down = f1.down * f2.down; return reduction(result); } 

分数的乘法

对两个分数f1和f2，其乘法计算公式为
$result=\frac{f1.up\ast f2.up}{f1.down\ast f2.down}$
代码如下：

Fraction multi(Fraction f1,Fraction f2){ 
    //分数f1乘以分数f2  Fraction result; result.up = f1.up * f2.up; //分数积的分子  result.down = f1.down * f2.down; //分数积的分母 return reduction(result); //返回结果分数，注意化简  } 

分数的除法

对两个分数f1和f2，其除法计算公式为：

$result=\frac{f1.up\ast f2.down}{f1.down\ast f2.up}$
代码如下：

Fraction divide(Fraction f1,Fraction f2){ 
    Fraction result; result.up = f1.up * f2.down; result.down = f1.down * f2.up; return reduction(result); } 

除法有额外注意事项。如果读入的除数为0（只需判断f2.up是否为0），那么应当直接特判输出题目要求的输出语句（例如输出Error、Inf之类）。只有当除数不为0时，才能用上面的函数进行计算。

三、分数的输出

分数的输出根据题目的需要根据题目的要求进行，但是大体上有以下几个注意点：

1. 输出分数前，需要先对其进行化简。
2. 如果分数r的分母down为1，说明该分数是整数，一般来说题目会要求直接输出分子，而省略分母的输出。
3. 如果分数r的分子up的 绝对值 大于分母down（想一想分子为什么要取绝对值？）说明该分数是假分数，此时应该按带分数的形式输出，即整数部分为r.up/r.down，分子部分为abs(r.up)%r.down，分母部分为r.down。
4. 以上均不满足时说明分数r是真分数，按原样输出即可。

void showResult(Fraction r){ 
    r = reduction(r); if(r.down == 1){ 
    printf("%lld",r.up); }else if(abs(r.up) > r.down){ 
    printf("%d %d/%d",r.up / r.down,abs(r.up)%r.down,r.down); }else{ 
    printf("%d/%d",r.up,r.down); } } 

强调一下：由于分数的乘法和除法的过程中可能使分子或分母超过int型表示范围，因此一般情况下，分子和分母应当使用long long型来存储。

四、题型训练

五、参考文档

算法笔记