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以a(t)=2t为例子
I ( t ) = e − ∫ 0 t a ( T ) d T I(t)=e^{- \int_{0}^{t} a(T)dT} I(t)=e−∫0ta(T)dT
或
改写成全微分方程的形式找积分因子
( − ∂ A ∂ y + ∂ B ∂ x ) = − P ( x ) [ 只 与 x 有 关 ] (- \frac { \partial A } { \partial y }+\frac { \partial B } { \partial x })=-P(x)[只与x有关] (−∂y∂A+∂x∂B)=−P(x)[只与x有关]
1 B ( ∂ P ∂ y − ∂ Q ∂ x ) = μ ( x ) [ 只 与 x 有 关 ] \frac { 1 } { B }( \frac { \partial P } { \partial y }-\frac { \partial Q } { \partial x })=μ(x)[只与x有关] B1(∂y∂P−∂x∂Q)=μ(x)[只与x有关]
则方程的积分因子 φ = φ ( x ) = e ∫ P ( x ) d x φ=φ(x)=e^{\int P(x) dx} φ=φ(x)=e∫P(x)dx
乘上积分因子后方程为全微分方程，两次积分即可反解出结果
y e ∫ P ( x ) d x − ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x + f ( y ) = y e ∫ P ( x ) d x + g ( x ) ye^{ \int_{}^{} P(x)dx } -\int Q(x)e^{ \int_{}^{} P(x)dx }+f(y)=ye^{ \int_{}^{} P(x)dx }+g(x) ye∫P(x)dx−∫Q(x)e∫P(x)dx+f(y)=ye∫P(x)dx+g(x)
来自MIT公开课的微分方程视频，有Gilbert Strang教授主讲
本视频为第八讲：常系数积分因子法
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