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整除的定义：
若整数a除以非零整数b，商为整数，且余数为零， 我们就说a能被b整除（或说b能整除a），即b∣a,读作“b整除a”或“a能被b整除”。a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。
整除的基本性质及证明：
①若a|b，a|c，则a|(b±c)。
证明：因为a|b和a|c，所以∃q1,q2∈Z，使得b=q1*a c=q2*a，可推出b±c=q1*a±q2*a=(q1±q2)*a。又因为q1,q2∈Z，所以(q1±q2)∈Z，所以a|(b±c)。
②若a|b，则对任意c(c≠0)，a|bc。
证明：因为a|b，所以∃q∈Z，使得b=q*a，推出b*c=q*a*c=q*c*a，又因为c≠0，所以q*c∈Z，所以a|bc。
③对任意非零整数a，±a|a=±1。
④若a|b，b|a，则|a|=|b|。
⑤a|b,a|c⇔∀x,y∈Z ,a|(b×x+c×y)
证明：
⑥如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反过来也成立。
⑦若m≠0,则a|b⇔(m⋅a)|(m⋅b)若m≠0, 则a|b⇔(m·a)|(m·b)
⑧x,y∈Z,且∃a,b 使ax+by=1,a|n,b|n⇒(a⋅b)|nx,y∈Z, 且∃a,b使ax+by=1,a|n,b|n⇒(a·b)|n
我们在竞赛中经常会碰到能被xx数整除的问题，如果现场总结规律可能会非常慢，这里我给大家总结了一部分能被xx数整除的数的特征：
能被2整除的数：个位上为2的倍数
能被4整除的数：个位和十位所组成的两位数能被4整除
能被8整除的数：百位、个位、十位所组成的三位数能被8整除（注意顺序）
能被5整除的数：个位上为5的倍数
能被25整除的数：十位和个位所组成的两位数能被25整除
能被125整除的数：百位、十位、个位所组成的数能被125整除
能被3整除的数：各个数位上的数字和能被3整除
能被9整除的数：各个数位上的数字和能被9整除
能被11整除的数：奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和的差的绝对值能被11整除
能被7整除的数：把个位数字截去，从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除，如果不好判断就递归处理
能被13整除的数：把个位数字截去，从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除
能被17整除的数：把个位数字截去，从余下的数中，加上个位数的5倍，如果和是17的倍数，则原数能被17整除，或把后三位截去，剩下的数与3倍后三位差的绝对值如果能被17整除，则原数能被17整除
能被19整除的数：把个位数字截去，从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除，或把后三位截去，剩下的数与7倍后三位的差的绝对值如果能被19整除，则原数能被19整除
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