复平面变换下的复变函数

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作者 | 刘洋洲

来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！

在上一篇文章《从复数乘法到代数基本定理——拓扑角度看复变》（点击文章题目可查看）中，我们回顾了复数的几何意义，同时专门研究了多项式函数的特点。本文尝试可视化指数函数、三角函数，并且建立正切函数与莫比乌斯变换的联系。

Part1指数函数

指数函数的几何意义建立在欧拉公式之上，

复变函数实际上就是复平面到自身的变换。逐点研究复变函数并不是非常方便，而直接观察复平面上网格的映射前后的变化，比较容易直观地把握复平面上的变换。所谓网格，就是指分别平行于实轴和虚轴的、等间距的直线所构成的集合。

1水平条形区域

设一条水平直
，它被指数函数作用后变成：

这是一个过原点的射线，与实轴的夹角为
，即
的虚部。

如上图，我们将指数函数
的原像和像放在同一个复平面内，如上图。根据上面的分析，原像复平面上的浅蓝色的水平直线被映射为粉色过原点的射线，更近一步，我们发现指数函数将水平条形区域映射为顶点为原点的扇形区域。更确切地说，每经过宽度为
的水平条形区域，其所对应的扇形区域此时为整个复平面：

图中
与
分别是水平直线和射线上的点，且
. 当
沿着水平直线往右方匀速移动，则
沿射线往无穷远移动，且速度越来越快；当
沿着水平直线往匀速左移动，则B沿射线逐渐靠近原点，但速度越来越慢。这显然是因为

模长函数是实数函数
的性质。

2竖直条形区域

上面的图片已经显示出：当点
沿着竖向直线匀速移动时，则点
做匀速圆周运动。即竖直直线
被映射为圆，圆心位于原点，半径
：

于是考虑连续的竖直直线所构成的竖直条形区域（见下图绿色直线之间区域）。经过指数函数作用后，变为环形区域（见下图粉色大小圆所夹的环形区域）。其中

同理，将竖直条形区域沿竖向每隔
等分，则每个矩形小区域都被一一地映射为环形区域。

3小结

我们在上面两种情况充分了解的基础上，最后进行整体的感知。以下是连续一连续变化的过程：正方形网格的左侧两逐渐往负实轴压缩，然后扭转合抱，不断地旋转；右侧在旋转的同时，离原点愈来愈远……

在 《从复数乘法到代数基本定理——拓扑角度看复变》 中，我们介绍了多项式函数的黎曼曲面，其整体像是一个旋转楼梯，只是需要最后一层与第一层衔接起来。而指数函数的黎曼曲面则像是无穷无尽的旋转楼梯，沿上下无尽延伸。我们在前面的分析足以说明这个现象：每一个横向条形区域
都用来“裹住”一层楼梯，即复平面，而这样的条形区域和整数一样多（一样多的意思是两者一一对应），称作可列。

从泰勒展开的角度看也很显然。由于

这是一个“无穷次数的多项式”，而《从复数乘法到代数基本定理——拓扑角度看复变》中探讨过多项式函数的黎曼曲面，我们用“有限逼近无限”的思想，可以理解其黎曼曲面无尽的回旋。

网络图片。侵删。

Part2正弦余弦

通过方程组很容易解出正余弦函数的指数表达形式：

以下函数图像按照颜色对应正余弦函数，它们是复平面网格经过映射后的像。注意到那些“圆形”的曲线，它们是如何形成的呢？

4类圆曲线的成因

细心的读者一定会发现，这些所谓的“圆形”，实际上并不是正圆，尤其是靠近原点的闭曲线，可能是椭圆曲线。

容易验证正余弦函数与双曲正余弦的函数的关系：

我们将
代入余弦函数,在复数域下和角公式依然成立，

我们固定
，则将双曲正余弦函数视为常数，即
，于是关于变量
曲线的曲线
为：

这恰好是长短半轴分别为
与
的椭圆。

那为什么越往外的椭圆看起来越接近圆呢？这是由双曲正切函数的特点导致的：

也就是说长短半轴之比随着参数
的往正负无穷跑，越来越趋于
，于是在视觉上渐进于正圆。

尾声

下篇，我们将会可视化正切函数与莫比乌斯变换，并且展现两者之间的联系。敬请期待！特别声明，文中未加标注的图片、动图都是借助GeoGebra实现（https://www.geogebra.org/），在此表示感谢。

参考文献

[1] Thristan Needham. 复分析:可视化方法[M]. 人民邮电出版社, 2009.

[2] 沙巴特. 复分析导论: 第4版. 第1卷, 单复变函数[M]. 高等教育出版社, 2010.

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