列向量的笛卡尔积和张量积

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

向量的笛卡尔积是指将两个向量的所有元素进行两两组合，并生成一个新的向量集合。

如果A表示某学校学生的集合，B表示该学校所有课程的集合，那么A与B的笛卡尔积就表示所有可能的选课情况。例如，如果学校有两个学生，分别用1和2表示，有三门课程，分别用’a’、’b’和’c’表示，那么学生和课程的笛卡尔积就是{(1,’a’),(1,’b’),(1,’c’),(2,’a’),(2,’b’),(2,’c’)}，表示每个学生都可以选择每门课程
设有两个向量A和B，分别表示为A={a1, a2, a3, …, an}和B={b1, b2, b3, …, bm}，则向量A和向量B的笛卡尔积定义为：

A × B = {(a1, b1), (a1, b2), …, (a1, bm), (a2, b1), (a2, b2), …, (an, bm)}

在数学和物理中，张量积（也称为直积、外积或笛卡尔积）是一种将两个向量空间结合成一个更高维度向量空间的操作。对于两个n×1 的向量（即列向量）之间的张量积，结果将是一个 n×n 的矩阵。

张量积的具体例子可以通过矩阵之间的张量积来直观展示。

假设我们有两个矩阵A和B，其中A是一个m × n的矩阵，B是一个p × q的矩阵。它们的张量积A ⊗ B是一个m p × n q的矩阵，其元素按照以下方式排列：将矩阵A的每个元素a_ij乘以矩阵B，并将其放置在结果矩阵的相应位置。

例如，

具体来说，假设有两个 n×1 的向量 a 和b：

这个矩阵也被称为a 和 b 的外积矩阵。它在许多应用中都有用处，比如在量子力学中描述系统的状态，或者在数值计算和信号处理中。