负负得正的证明和帕普斯六边形定理

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负负得正法则的代数证明

英国数学家迈克·戈德史密斯在他的著作《奇妙数学史：从代数到微积分》中提供了一个正负数运算法则的代数证明，我们来看一下如何证明负负得正。

原理

负数×负数=？

虽说丢番图不接受负数作为问题的解，但他在计算步骤里确实用到了。也就是说，他得根据乘法的概念来把握计算结果。负数和正数的乘积是负数，这个很显然了，但是两个负数的乘积是负数还是正数不那么明显。丢番图认为是正数，但他没有给出证明。

然而，我们有这样一个证明方法。

法则 (-a)(-b)=ab

+和-是正负号，×和÷是运算符号

证明：我们定义一个数x，使得

x=ab+(-a)b+(-a)(-b)……(方程1)

首先，我们提出b

x=ab+(-a)b+(-a)(-b)

x=b[a+(-a)]+(-a)(-b)

x=(0)b+(-a)(-b)

x=(-a)(-b)……(方程2)

现在，我们回到方程1，这次提出(-a).

x=ab+(-a)b+(-a)(-b)

x=ab+(-a)[b+(-b)]

x=ab+(-a)(0)

x=ab……(方程3)

方程2和方程3的两个表达式都等于x，也就是说，这两个表达式是相等的。

即 (-a)(-b)=ab

得证。

帕普斯六边形定理

希腊亚历山大学派的数学家帕普斯发现了一个美妙的定理：帕普斯六边形定理。

令人联想到变与不变是数学中的一个永恒的主题：从看似混乱的情形寻找秩序。

图片来自《奇妙数学史：从代数到微积分》。