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数学中空间是一个非空的集合，用符号 V 表示，它的组成包括两个部分：元素 + 规则，任何操作以及推导都只能在规则的基础上进行。
线性空间是一种定义了加法和数乘这两种规则的空间，其中的元素是向量，故也称为向量空间。符号 P表示一个数域。
1）加法运算：
即当向量 a,b∈V，有唯一的和 a+b∈V (封闭性)，即定义了向量的加法操作。
2）数乘运算(数量乘积)：
当 a∈V,k∈P时，有唯一的积 ka∈V (封闭性)。
空间是定义在数域上的，以上性质定义了数域 P内的元素(数)和向量相乘所允许的操作。
满足了以上几条性质，则称 V是定义在数域 P上的线性空间或向量空间。对于不同的数域，可能构成不同的线性空间。
之所以称为线性空间是由于所定义的加法和数乘运算都是线性运算。
举例：
1）所有三维向量可以构成一个线性空间，很明显这个线性空间的维度也是 3。
比如两个点的坐标（1，1，1）与（2，2，2），对它们进行加法和数乘运算以后得到的点，还是属于这个三维空间中的点。
2）如图，位于下图斜面上的向量，用三个坐标来描述，即向量是三维的，斜面上的向量全体也可以构成一个线性空间，但此时向量空间的维度是 2，即只需要两个线性无关的向量 v1,v2 就可以表示该空间中的所有元素。
向量空间的维度取决于里面包含了哪些向量，里面的向量必定都有相同的分量个数。
总结：线性空间首先是一个集合，其中的元素是向量，空间中的元素对于加法和数乘运算是封闭的。
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