函数的第二类同构平均值，完美却不为人知

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函数的定积分与区间宽度的比值被称为函数在此区间上的平均值。它的广义形式是

在我的“同构数学分析”中被称为函数的第一类同构平均。在经典分析中被称为函数的广义h平均。h为y=x，则为开始的函数普通平均。然而经典分析的角度没有看到和其形成完美对称的第二类情形。

如下形式在我的“同构分析”中被称为函数的第二类同构平均值：

请看，当g为y=x时它也简化为普通平均。

然而由于历史沿革，在经典分析来看，它应被看成是“定积分的第一中值定理”的一个特殊转化，并和柯西平均在一定条件下可转化。这个第一中值定理的相关函数g只是f的不怎么相干的“邻居”家的一个函数，可以用来和f相乘，第一中值定理中的g相当于第二类同构平均中相关函数g的导数。而从同构分析的角度来看，其相关函数g是横轴上的同构变换函数，正如第一类同构平均值的相关函数h是纵轴上的同构变换函数，因而形成了完美的对称性。

另外在这种完美对称性的更高视角上，函数的柯西平均被归纳为和“函数的第五类同构平均”等价，而不是弯弯绕绕和第一中值定理相关联（也就不是和第二类同构平均关联）。

总之从同构平均的角度来看，函数的平均值的概念被整理的层次分明，对应清晰，并带着原生的经典性、正统性和完美对称性。

函数的第一类同构平均之间的不等比较有如下法则：

而（单调）函数的第二类同构平均的比较法则以及证明如下：

（仅仅从定理的文字的相似性，就暗示这两个概念的完美对称和相关性，一点不假）：

其证明过程的复杂度不仅在如上文字中体现，还涉及到理论的诸多准备，我可以说不亚于网红数学竞赛的任何题目的解答。

函数的第二类同构平均值包含了更多的秘密。

我为第二类同构平均引入了一个很好的特例，称为函数的“弹性平均”，他和经济学上的消费“弹性”的概念相关。而他与函数第二类同构定积分的关系，就和函数的普通平均与定积分之间的关系完美同构。

有兴趣的读者请看arXiv两篇原文：2308.06500（同构平均及不等式），2312.05350（同构分析：TIMAS理论）。