什么是线性规划

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什么是线性规划

在数学中，线性规划是一种在某些约束条件下优化操作的方法。线性规划的主要目标是最大化或最小化数值。它由线性函数组成，这些函数受到以线性方程或不等式形式表示的约束条件的限制。线性规划被认为是一种重要的技术，用于找到最优资源利用。“线性规划”这个词由两个词组成，即“线性”和“规划”。“线性”定义了多个变量之间一次方的关系。“规划”定义了从各种备选方案中选择最佳解决方案的过程。
线性规划在数学及经济学、商业、电信和制造业等其他领域中得到了广泛应用。在本文中，我们将讨论线性规划的定义、组成部分以及解决线性规划问题的不同方法。

线性规划是什么？
线性规划（LP）或线性优化可以定义为在受到线性约束的情况下，最大化或最小化一个线性函数的问题。约束可以是等式或不等式。优化问题涉及利润和损失的计算。线性规划问题是一类重要的优化问题，它有助于找到可行区域并优化解决方案，以获得函数的最高或最低值。
换句话说，线性规划被认为是一种优化方法，旨在通过在给定的数学模型中使用一组以线性关系表示的要求最大化或最小化目标函数。线性规划问题的主要目的是找到最优解。
线性规划是一种考虑与特定情况相关的不同不等式的方法，并计算在该条件下所需达到的最佳值。在进行线性规划时，会假设以下几点：

• 约束条件的数量应以定量形式表示
• 约束条件与目标函数之间的关系应为线性关系
• 线性函数（即目标函数）应被优化

线性规划的基本要素如下：
决策变量
约束条件
数据
目标函数

线性规划的特点

线性规划问题的几个特征如下：
约束条件 – 应以数学形式表达出对资源的限制。
目标函数 – 在问题中，目标函数应以定量的方式指定。
线性性 – 函数中两个或多个变量之间的关系必须是线性的。这意味着变量的次数为1。
有限性 – 应有有限和无限的输入和输出数值。否则，如果函数具有无限因素，则最优解不可行。
非负性 – 变量值应为正数或零。不应为负数。
决策变量 – 决策变量将决定输出。它给出问题的最终解决方案。对于任何问题，第一步都是识别决策变量。

线性规划问题
线性规划问题是一个涉及寻找给定线性函数最优值的问题。最优值可以是最大值或最小值。

在这里，给定的线性函数被认为是目标函数。目标函数可以包含多个变量，这些变量要满足条件，并且必须满足一组称为线性约束的线性不等式。线性规划问题可以用于为以下场景找到最优解，例如生产问题、饮食问题、运输问题、分配问题等等。
解决线性规划问题的方法有很多，比如图形法、单纯形法，也可以使用软件等工具。在这里，我们将详细讨论一种最重要的方法——图形法。

图形法
图形法用于优化二变量线性规划问题。如果问题有两个决策变量，那么图形法是找到最优解的最佳方法。在此方法中，将不等式约束集绘制在XY平面上。一旦将所有不等式绘制在XY图上，交集区域将有助于确定可行区域。可行区域将提供最优解以及解释模型可以取的所有值。让我们看一个例子，以更好地理解线性规划的概念。
示例：
计算以下约束条件下的z=5x+3y的最大值和最小值。

x + 2y ≤ 14

3x – y ≥ 0

x – y ≤ 2

解决方案：

这三个不等式表示了约束条件。将被标记的平面区域就是可行区域。
优化方程为z=5x+3y。你需要找到使z取最大值和最小值的(x,y)顶点。
首先，先解出每个不等式所代表的直线范围。

y = -(½) x + 7

y = 3x

由此两个方程可以解出两条直线的交点（2，6）

其次计算这两条直线的交点：

y = -1/2 x + 7

y = x – 2

得出其交点（6，4）

然后再计算下面两条线的交点：

y = 3x

y = x – 2

得出它们的交点（-1， -3）

以下是上述方程的图形。

对于线性系统，要优化的等式的最大和最小值就在可行区域的顶点处。因此只要把上面求出的交点带入z = 3x + 4y 中即可判断最优解，

(2, 6) :

z = 5(2) + 3(6) = 10 + 18 = 28

(6, 4):

z = 5(6) + 3(4) = 30 + 12 = 42

(–1, –3):

z = 5(-1) + 3(-3) = -5 -9 = -14

因此当过（6，4）点时，最大值z=42， 最小值z=-14, 此时过（-1， -3）。