梯度到底是指什么

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作者在《较为全面地解读梯度含义》一文中，比较详细地介绍了梯度这个熟悉概念的来龙去脉。为了从整体上对于梯度有一个更为清晰的理解，这里再说明一下。

图a

梯度问题应该是由上图中的情形而引起的。在上图中，假设我们处于山脚的O点，现在需要找一条路径，这条路径能够让我们最快到达山顶。那怎么找呢？我们会很自然地想到，直接把O点和山顶的P点连接起来不就行了吗？但山坡是曲面而不是平面，怎么连？

解决的方法很简单，就是通过O点和P点，向地平面作一个垂直平面，也就是上图中那个红色的平面，称为投影平面。由此，这个投影平面会和山坡的曲面有一条交线，这条交线就是我们要找的最快到达山顶的路径。

那么，梯度又是用来表示什么东西的呢？

从梯度的定义可以看到，梯度是一个向量。那么，这个向量和函数值z有没有关系呢？

图1

答案是没有。因为z=f(x,y)表示空间曲面，而函数f(x,y)本身并没有出现变量z，比如圆的方程

所以，由图1中梯度的定义可以知道，梯度就是在XOY平面中的一个向量：

图2

这个平面由类似山坡曲面的等高线投影其中。上图中指向圆心、带有箭头的直线就是梯度向量，箭头就是梯度方向。因此，梯度不是图a中截下的山坡曲面上的那条轨迹OP，而是等高线图中的一个向量。

上图中的等高线是一个个规则的圆，这是因为我们假设山坡是规则的半球形，那如果是不规则呢？

由上图看到，不规则的曲面的等高线，同样是不规则的二维图形。这也导致在这种不规则的情形下，梯度的方向是随时改变的。而梯度在每一个点的方向都必须保证其方向导数的值是最大的。

我们由图1中梯度的定义还可以看到，梯度不但是一个向量，而且这个向量还是（x,y）的函数，也就是说，梯度这个向量的大小和方向，都会随着坐标(x,y)的变化而变化。

那图2中的梯度为什么是同一个方向呢？这需要对等高线，也就是圆的方程及其法线方向进行进一步的分析。