一道不等式难题

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题目如下：

已知实数且恒成立，求的最小值

原题是选择题，这里直接求解。网上有一些解法，都有不少错误。这里来讨论一下。提供一些解题思路。

首先把要求恒成立的不等式来化简变形一番；

这里要着重分析一下第四个式子。不等号左边可以看成有两部分和组成，a，b没有相关项，是相互独立的。而且求和的两个部分形式是相同的。这种式子可以叫做是关于ab是轮换对称，或者关于ab是对偶的。即，a与b地位是相当的。在这里a与b又没有其他的相关约束，a与b是独立的。这个时候恒成立就意味着要求在a的可能取值范围内，不管b取任意的可选值，不等式成立，对于b来说也是这样的。因此要求A部分与B部分始终都是大于等于0的。对于A式来说是必须的，同理也是必须的，否则不能恒成立。

的。

所以的最小值 是2 当时等号成立，取得最小值。

轮换对称：

在还有多个变量的代数式$f(x,y,z)$中，如果变量x，y，z任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式是绝对对称式，简称对称式。

如果把一个多项式的每两个字母依次互换后，多项式不变，这种多项式叫对称多项式。