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一、对数的基本概念
- 定义与符号对数：指数运算的逆运算，即 a^b = N ⇔ log_a N = b（其中 a > 0, a ≠ 1, N > 0）2常用对数：以10为底的对数，记作 lg N（如 lg 100 = 2）自然对数：以无理数 e ≈ 2.718 为底的对数，记作 ln N（如 ln e^3 = 3）
- 对数式与指数式互化转换规则：log_a N = b → a^b = Na^b = N → log_a N = b示例：log_2 8 = 3 等价于 2^3 = 8
二、对数的运算性质
- 基本性质零与底数：log_a 1 = 0，log_a a = 12乘除变加减：log_a (M·N) = log_a M + log_a Nlog_a (M/N) = log_a M – log_a N幂运算：log_a M^n = n·log_a M
- 换底公式及推广公式：log_a b = log_c b / log_c a（c > 0, c ≠ 1）5推论：log_a b·log_b a = 1log_{a^n} b^m = (m/n)·log_a b
三、对数方程解法
- 同底化法步骤：将方程两边化为同底对数，令真数相等。例：解 log_2 (x-1) = 3
→ x-1 = 2^3 = 8 → x = 9 - 换元法复杂方程设 t = log_a x，转化为代数方程求解。例：(log_2 x)^2 – 3log_2 x + 2 = 0
→ 设 t = log_2 x → t^2 – 3t + 2 = 0 → t=1 或 t=2
→ x = 2^1 = 2 或 x = 2^2 = 4 - 真数限制条件解方程前需验证定义域（如 x > 0），舍去无效根。
四、核心应用总结
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问题类型 |
关键技巧 |
易错点 |
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对数式转化 |
指数与对数互化训练 |
忽略底数 a > 0, a ≠ 1 |
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复杂运算 |
活用换底公式简化计算 |
混淆 log_a (M±N) 规则 |
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方程求解 |
先确定定义域，再选择解法 |
未检验解的有效性 |
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