面积法巧求线段比

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在头条上看到一道几何计算题，求阴影面积，题目呈现如下：

注意，E和F分别是三等分点和中点。

现在我们考虑解题的关键在哪里？因为正方形边长为1，所以图中三角形ADE面积等于½，于是矛盾的焦点凸显，只要我们知道了DG:GE的线段比，立即得到阴影面积了。

怎样求这个线段比呢？容易想到共边定理。根据共边比例定理，DG:GE=S△ADF:S△AEF。利用共边定理，可以巧妙地把面积之比转化为线段比。

现在我们来计算这两个三角形的面积。∵F是中点，所以S△ADF=¼，计算S△AEF就要麻烦一点了。

直角梯形ABCF面积为4分之三，减去ABE和CEF这两个三角形的面积就可以得到S△AEF。

ABE的面积为三分之二乘以½，等于6分之2，化简为⅓。而CEF的面积为⅓×½×½=1/12。所以，S△AEF=(3/4)-⅓-(1/12)=(3/4)-(5/12)=4/12=⅓。

现在我们得到了线段比DG:GE=¼:⅓，化简后得到DG:GE=3:4，所以

阴影面积=S△AEG=½×(4/7)=2/7

解法二

在欧几里得解题工具箱里有两大法宝：相似和全等。请看下图：

延长BC和AF，交点为H。容易证明三角形CFH和三角形ADF全等。(对顶角相等，直角相等，F是中点，ASA)。

另外，容易证明三角形ADG和三角形HEG相似(对顶角相等，AD∥BH)，所以这两个相似三角形的相似比为DG:GE=1:(4/3)=3:4.

于是得到答案：阴影面积为2/7.

这个解法需要一点想象力，构造相似三角形得到关键的线段比，从而解得阴影面积。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。