实数是什么？——戴德金原理

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我们把数域从自然数依次扩展到整数、有理数、代数数，后来数学家们发现，代数数仍然不能包罗万象，比如用来表示圆周率的π就不是代数数。可是如何进一步扩展数域呢？如果一直从运算入手作数域扩展，这将是一个无休无止的工作，所以需要换一个思路来构造数域了。数学家想了很多办法构造实数，其中之一便是戴德金[1]于1872年提出的戴德金原理（Dedekind principle）。在后面还会介绍柯西列的构造方法。

用自然语言来讲，戴德金原理就是鉴于有理数的有序性（任意两个有理数都可以比较大小），将有理数按照由小到大的顺序排列，从中间某个位置切分成两个集合，切分的位置便确定了一个数值。

用数学语言来描述，将有理数集Q分成两个子集S和T，使它们满足：

GoNz2CxXRU%3D","darkImgUri":"tos-cn-i-6w9my0ksvp/02d966b1d37646618e7e1ec00f133760","formulaImgStatus":"succeed"}" data-formula="\begin{cases}S,T\ne Q\\Q=S\cup T\\\forall x\in S,y\in T有x

我们称这是有理数集 上的一个戴德金分割（Dedekind cut），记作。

例2.5.1.1举例说明 戴德金分割。

解：（1）

（2）

（3）

答毕。

例2.5.1.2 求证：对于任意两个不相等的有理数，必然存在一个有理数介于二者之间：。这个性质叫做有理数的稠密性（density）。

证明：由于

由于有理数经过四则运算后，仍是有理数，所以取

即满足条件

证毕。

对有理数集Q任意作一个戴德金分割，那么会出现3种情形：

（1）S中有最大值，T中无最小值，如例2.5.1.1（1）；

（2）S中无最大值，T中有最小值，如例2.5.1.1（2）；

（3）S中无最大值，T中也无最小值，如例2.5.1.1（3）。

不存在情形（4）：S中有最大值，T中也有最小值。因为假设S中最大值为p，Q中最小值为q，根据戴德金分割的定义，有p<q，据例2.5.1.2可知，存在s，使得p<s<q，那么而，矛盾。

对于情形（1）和（2），我们说该分割确定了一个有理数；对于情形（3），我们仍认为该分割确定了一个值，比如例2.5.1.1（3）所确定的值就是，我们把这样的数值叫做无理数（irrational number）。有理数和无理数统称为实数（real number），通常将实数集（set of real numbers）记作R。大于0的实数，叫做正实数（positive real number），正实数集记作R+；小于0的实数，叫做负实数（negative real number），负实数集记作R-。

每个实数x都可以由有理数集的戴德金分割确定，记作

根据戴德金分割的定义，可以得到，所以只要确定了 S，Q便随之而定。在情形（1）中不妨将归入T，这就转化成为情形（2），所确定的值不变。所以判断一个数值是不是实数，只需判断能否列出以该数值为临界值的戴德金分割中的S。不难得出， 应满足以下条件

（1）；

（2）S≠Q；

（3）；/*保证S是左边集合*/

（4）。/*保证S没有最大值*/

按照戴德金原理构造的实数，任意两个实数都可以比较大小。设实数x，y分别由戴德金分割和确定，那么当时，x=y；当时，x<y；当时，x>y。

我们也容易得到，任意两个不相等的实数之间，必然存在一个有理数介于二者之间，也必然存在一个无理数介于二者之间，在有序的数域中不会再出现实数之外的数。两个实数x,y之间所有实数构成的集合，我们称作区间（interval），我们用符号∞表示无穷大，也会用于区间表述：

[1] 尤利乌斯·威廉·理查德·戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind），1831-1916，德国数学家、理论家和教育家，近代抽象数学的先驱， 年提出了算术公理的完整系统。