【数学】积分（integration）的定义，黎曼和，黎曼积分，牛顿.莱布尼茨公式，微分三大中值定理

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【积分的定义】

本文将详细的描述积分的定义和牛顿.莱布尼茨公式。感谢此文：如何简单地证明、理解牛顿-莱布尼兹公式？

在上面四个图中，我们可以看到，使用等分矩形的形式来计算曲线与坐标轴所围的面积，则当细分到一定程度时，则二者是几乎相等的。

德国数学家黎曼，定义了黎曼和，也即在闭区间 [a,b] 上进行分隔，也即 $a<x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{i}<...x_{n}<b$ ，则 $\lambda =max(x_{i+1}-x_{i})$ ，也即 $\lambda$ 是分隔的区间中，最大的区间。我们再对于每个取样区间 $[x_{i}, x_{i+1}]$ 中，取一点 $x_{i}<t_{i}<x_{i+1}$

定义以下黎曼和：

$\sum_{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})$

当 $\lambda \to 0$ 时，则黎曼和若趋近于某个常数S，则称为该函数 f(x) 在 [a,b] 上是可积的，积分定为：

$\int_{a}^{b}f(x)dx$

其值为S。这就是黎曼积分。也就是我们正常学习的积分。

【牛顿.莱布尼茨公式】

给出积分的定义之后，我们可以使用黎曼和来求积分，事实上在计算机的计算之中就是使用黎曼和来近似的。在数值计算当中，我们使用黎曼和的形式来计算积分并不容易，比如 $y=x^{2}$ 的积分计算按照黎曼和计算很容易，每次都取最大值做高：

$S=\frac{1}{n} (\frac{1}{n})^{2}+\frac{1}{n} (\frac{2}{n})^{2}+...+\frac{1}{n} (\frac{n}{n})^{2}=\frac{1}{n}(\frac{1^{2}+2^{2}+...+n^{2}}{n^{2}})=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^{3}}=\frac{2n^{3}+...}{6n^{3}}$

取极限 $n \to +\infty$ ，则 $\frac{1}{3}$

上面是属于好求的，倘若 $y=f(x)=\sqrt{1-e^{sinx}}tanx^{3}$ 那就很难受了。

因此必须要求更好的求积分的方法，否则就难受大了。

牛顿.莱布其茨提出了一个方便快捷的求积分的公式：

设 y=f(x) 有原函数 F(x) ，也即 F(x) 的导数等于 f(x) ，那么：

$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

下面来证明牛莱公式：

$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)=F(b)-F(x_{n-1})+F(x_{n-1})-F(x_{n-2})+...+F(x_{2})-F(x_{1})+F(x_{1})-F(a)$

$=\sum_{i=1}^{n}(F(x_{i})-F(x_{i-1}))=\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})F'(c_{i})$

其中最后两步使用到了拉格朗日中值定理。

【拉格朗日中值定理】

在可导可积的区间 [a,b] 上，则至少存在一个 $a<\varepsilon<b$ 使得：

$f(b)-f(a)=(b-a)f'(\varepsilon )$

也即：

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\varepsilon )$

从直观上理解，若 [a,b] 上 f(x) 连续，则必然存在一点 $a<\varepsilon<b$ 其切线（斜率）与 f(a) 与 f(b) 的连线平行。如上图所示。

【柯西中值定理】

由拉格朗日中值定理，可以引入另一个函数 g(x) ，其在 [a,b] 上连续可导。则：

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\varepsilon )}{g'(\varepsilon )}$

证明是显而易见的。

还有一个罗尔中值定理，与拉格朗日中值定理，柯西中值定理合称微分三大中值定理。

【罗尔中值定理】

若 [a,b] 上 f(x) 连续，且 f(a) = f(b) ，则必存在 $a<\varepsilon<b$ ，使得 $f'(\varepsilon )=0$ ，可以将罗尔中值定理看成是拉格郎日中值定理的其中的一种特例。

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