快速幂算法详解

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适用： 值需要多次翻倍的场景。

题目描述：

实现 pow(x, n) ，即计算 x 的 n 次幂函数（即，$x^n$）。不得使用库函数，同时不需要考虑大数问题。

题目链接：数值的整数次方

快速幂引出：

当 n 小于 0 时，结果为 $x^{-n}$ 因此只需考虑 n 为正数的情况。

一般情况下，我们会直接计算 $x\ast x$ 循环 n – 1 次，但当 n 非常大时，计算会很耗时。

其实，并不需要必须计算 n – 1 次才能得出结果，使用某些方法计算若干次(通常比 n – 1 次要小很多)就能得出答案，这种方法被称为快速幂方法。

以 $x^{77}$ 为例：

快速幂 + 递归

$x^{77}$ 可以分解为：

$x$ -> $x^2$ -> $x^4$ -> $x^8$ -> $x^{19}$ -> $x^{38}$ -> $x^{77}$

乍一看看不出规律，但从右向左看可以发现，$x$ 上的指数是右侧一半的下取整。

其中 $x$ -> $x^2$ ，$x^2$ -> $x^4$，$x^4$ -> $x^8$ ， $x^{19}$ -> $x^{38}$ 右侧可以由左侧的平方取得，右侧的指数为偶数

$x^8$ -> $x^{19}$， $x^{38}$ -> $x^{77}$，右侧可以由左侧的平方在多乘一个 $x$ 获取，右侧的指数为奇数。

综合其上，可以得到一个递推关系式：

当指数 $n$ 为奇数时，$x^n$ = $x^{n/2}$ * $x^{n/2}$ * $x$；

当指数 $n$ 为偶数时，$x^n$ = $x^{n/2}$ * $x^{n/2}$

当指数 $n==0$ 时，$x^0$ = 1

// 快速幂应用 public double myPow(double x, int n) { 
    long N = n; return n >= 0 ? quickMul(x, n) : 1.0 / quickMul(x, n); } public double quickMul(x, n){ 
    if(n == 0){ 
    return 1; } // 先算出 n 是一半的值 double y = quickMul(x, n / 2); // 如果 n 是偶数，则 return n % 2 == 0 ? y * y : y * y * x; } 

快速幂 + 迭代

任何正整数都能用二进制表示，77 = 64 + 8 + 4 + 1，因此可以写成二进制 $({)}_2$

而 $x^{77}$ = $x$ * $x^4$ * $x^8$ * $x^{64}$

完整的是 $x$ ，$x^2$， $x^4$ $x^8$ ，$x^{16}$，$x^{32}$， $x^{64}$，可以看出就是在二进制为1的位置选择了。

因此可以迭代指数，同时计算 $x\ast =x$ 得到相应的二进制指数中间结果，如果它的二进制末尾是为1，则保留，与存储最终结果的值相乘，直到指数为0。

// 快速幂应用 public double myPow(double x, int n) { 
    long N = n; return n >= 0 ? quickMul(x, n) : 1.0 / quickMul(x, n); } // 迭代法 public double quick(double x, long n){ 
    double ans = 1.0; double res = x; while(n != 0){ 
    if(n % 2 == 1){ 
    ans *= res; } res *= res; n /= 2; } return ans; }