高等代数精解【5】

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置换矩阵

概述

在数学和线性代数中，置换矩阵（Permutation Matrix）是一种特殊的方阵，它通过交换矩阵的行或列来实现排列。置换矩阵在矩阵运算、线性变换和图论等多个领域中具有广泛应用。

1. 定义

置换矩阵是一个方阵，具有以下特性：

• 每行和每列都包含且仅包含一个“1”，其他位置为“0”。
• 置换矩阵用于对向量或矩阵的行或列进行置换。

例如，3×3的置换矩阵可能是如下形式：

$$P=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]$$

在上面的矩阵$P$中，原本顺序为$[1,2,3]$的行或列被重新排列为$[2,3,1]$。

2. 特性

• 正交矩阵：置换矩阵是正交矩阵的一种，因此$P\cdot P^T=I$，其中$P^T$是$P$的转置矩阵，$I$是单位矩阵。
• 行列式值：置换矩阵的行列式值为$\pm 1$，具体取决于置换的奇偶性。
• 逆矩阵：置换矩阵的逆矩阵是其转置矩阵，即$P^{-1}=P^T$。

3. 应用

• 向量置换：对向量应用置换矩阵会重新排列向量的分量。例如，向量$x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]$与上述置换矩阵$P$相乘后，结果是$P\cdot x=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ x_3\\ x_1\end{array}\right]$。
• 矩阵置换：对矩阵的行或列进行置换，以改变数据的排列方式。常用于线性方程求解和图论中的邻接矩阵表示。
• 组合优化：在优化问题和图论中，用于改变顶点或路径的排列以找到最优解。

对于给定的置换，可以通过以下步骤构造置换矩阵：

1. 根据置换顺序，确定每一行或每一列中“1”的位置。
2. 保证每行和每列只有一个“1”，其他元素为“0”。

例如，若我们要表示置换$[3,1,2]$（即第1行对应第3，2行对应第1，3行对应第2），则其置换矩阵为：

$$P=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$$

这个矩阵将$[x_1,x_2,x_3]$置换为$[x_3,x_1,x_2]$。

总结

置换矩阵在数据排列、线性代数、组合优化等领域中有重要的应用。其独特的结构和特性，使其在计算上有极大的效率和灵活性。

详解

置换矩阵的定义

在数学和计算机科学中，置换矩阵（Permutation Matrix）是一种特殊的方阵，用于表示对向量的置换（重排）操作。一个置换矩阵是一个每一行和每一列都恰好有一个1，其余元素都是0的方阵。这种矩阵的乘积对应于向量或矩阵中的行或列的置换。

置换矩阵的构造

要构造一个 交换第一个元素与第三个元素 的置换矩阵，我们可以使用一个 $3\times 3$ 的矩阵。假设我们有一个三维向量 $[x_1,x_2,x_3]$，交换第一个元素和第三个元素后的结果应为 $[x_3,x_2,x_1]$。

对应的置换矩阵 $P$ 为：

$$P=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]$$

验证

当我们将此置换矩阵 $P$ 乘以向量 $[x_1,x_2,x_3{]}^T$ 时，得到：

$$P\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_3\\ x_2\\ x_1\end{array}\right]$$

这个结果符合我们的预期：第一个元素 $x_1$ 和第三个元素 $x_3$ 被成功交换。

置换矩阵的应用

置换矩阵在计算机科学和数学中有多种应用，包括：

• 线性代数：在解决线性方程组或进行矩阵分解时，置换矩阵可以用来对矩阵进行行交换，以简化计算过程。
• 图论：在图的匹配问题或网络流问题中，置换矩阵可以用来表示节点或边的重排。
• 组合数学：在处理排列、组合和对称群等问题时，置换矩阵提供了一种有效的代数表示方法。
• 量子计算：在量子算法中，置换矩阵被用来表示量子比特的置换操作。

  总的来说，置换矩阵是数学和计算机科学中一个非常有用的工具，它们提供了一种简洁而强大的方式来描述和操作向量、矩阵以及更复杂的数学对象。

置换矩阵的性质

1. 可逆性：置换矩阵是可逆的，且其逆矩阵也是置换矩阵。实际上，一个置换矩阵的逆矩阵对应于原置换的逆置换。
2. 正交性：置换矩阵的转置矩阵是其逆矩阵，即$P^T=P^{-1}$，其中$P$是置换矩阵。这意味着置换矩阵是正交矩阵。
3. 行列式：置换矩阵的行列式等于1或-1，这取决于置换的奇偶性（即进行奇数次或偶数次交换的次数）。具体来说，如果置换可以分解为偶数次交换，则行列式为1；如果为奇数次，则行列式为-1。
4. 特征值：置换矩阵的特征值只能是1或-1。这是因为置换矩阵的行列式值为±1，而行列式值等于矩阵特征值的乘积。
5. 迹数：置换矩阵Pσ的迹数等于相应置换σ的不动点的个数。
6. 群论性质：设Sn是n次对称群，由于n置换一共有n!个，n阶的置换矩阵也有n!个。这n!个置换矩阵构成一个关于矩阵乘法的群，其单位元就是单位矩阵。
7. 单位矩阵的置换：单位矩阵（即对角线上全为1，其余元素为0的方阵）可以被视为一种特殊的置换矩阵，表示没有发生置换（即恒等置换）。
8. 可逆性：所有置换矩阵都是可逆的，且其逆矩阵也是置换矩阵。实际上，一个置换矩阵的逆矩阵对应于原置换的逆置换。
9. 行列式：置换矩阵的行列式等于1或-1，这取决于置换的奇偶性（即进行奇数次或偶数次交换的次数）。具体来说，如果置换可以分解为偶数次交换，则行列式为1；如果为奇数次，则行列式为-1。
10. 正交性：置换矩阵是正交矩阵，即它们的转置矩阵等于它们的逆矩阵。

置换矩阵的计算

置换矩阵的计算通常涉及对单位矩阵的行或列进行置换操作。例如，要得到对应于置换π = (1 4 2 5 3)的置换矩阵Pπ，只需将单位矩阵的行按照π的指示进行重排即可。

置换矩阵的例题

例题：给定一个3×3的矩阵A和一个置换矩阵P，计算PA的结果，其中

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right),P=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$$

解答：

$$PA=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}4& 5& 6\\ 7& 8& 9\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$$

这个计算结果表明，通过左乘置换矩阵P，矩阵A的行被重新排列了。

线性空间

基和坐标

• $e_1,e_2,\dots ,e_n$是线性空间$R^n$的基。
  $$\begin{gathered} e_1=(1,0,\dots ,0) \\ {e}_2=(0,1,..,0) \\ \dots \\ \dots \\ \dots \\ {e}_n=(0,0,\dots .,1) \end{gathered}$$
  
• 线性空间$V^n$的一个基$x_1,x_2,\dots ,x_n$为$V^n$的一个坐标系。
  $$\begin{gathered} 向量x=({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n)\in V^n,它在该基下的线性表示为： \\ x={\xi }_1{e}_1+{\xi }_2{e}_2+\dots +{\xi }_n{e}_n \\ 称{\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n为x在该坐标系中的坐标或分量，记为： \\ ({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n{)}^T \end{gathered}$$
  
• 线性空间的坐标

线性空间坐标的定义

在线性空间$V$中，若存在一组线性无关的向量${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$，使得$V$中的任意向量$\beta$都可以由这组向量唯一线性表示，即存在唯一的标量$x_1,x_2,\dots ,x_n$，使得

$$\beta =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n$$

则称这组数$x_1,x_2,\dots ,x_n$是向量$\beta$在基 { α 1 , α 2 , … , α n } \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\} {
α1​,α2​,…,αn​}下的坐标。这组线性无关的向量${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$被称为线性空间$V$的一组基，而$n$则称为线性空间$V$的维数。

坐标的计算通常依赖于给定的基和待求坐标的向量。假设已知基 { α 1 , α 2 , … , α n } \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\} {
α1​,α2​,…,αn​}和向量$\beta$，要求$\beta$在这组基下的坐标，可以通过解线性方程组来实现。设$\beta$的坐标为$(x_1,x_2,\dots ,x_n)$，则有

$$\left(\begin{array}{cccc}{\alpha }_1& {\alpha }_2& \cdots & {\alpha }_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\beta$$

解这个线性方程组，即可得到$\beta$的坐标$(x_1,x_2,\dots ,x_n)$。

三、线性空间坐标的例子

例子1：二维平面上的向量

在二维平面直角坐标系中，以原点为起点的所有向量构成一个二维线性空间。取两个线性无关的向量${\alpha }_1=(1,0)$和${\alpha }_2=(0,1)$作为基，则任意向量$\beta =(a,b)$都可以表示为

$$\beta =a{\alpha }_1+b{\alpha }_2$$

此时，$(a,b)$就是向量$\beta$在基 { α 1 , α 2 } \{\alpha_1, \alpha_2\} {
α1​,α2​}下的坐标。

例子2：三维空间中的向量

类似地，在三维空间中，以原点为起点的所有向量构成一个三维线性空间。取三个线性无关的向量${\alpha }_1=(1,0,0)$，${\alpha }_2=(0,1,0)$和${\alpha }_3=(0,0,1)$作为基，则任意向量$\beta =(x,y,z)$都可以表示为

$$\beta =x{\alpha }_1+y{\alpha }_2+z{\alpha }_3$$

此时，$(x,y,z)$就是向量$\beta$在基 { α 1 , α 2 , α 3 } \{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\} {
α1​,α2​,α3​}下的坐标。

四、线性空间坐标的例题

例题：在二维线性空间$V$中，已知基为${\alpha }_1=(1,2)$和${\alpha }_2=(3,1)$，求向量$\beta =(5,4)$在这组基下的坐标。

解：设向量$\beta$在基 { α 1 , α 2 } \{\alpha_1, \alpha_2\} {
α1​,α2​}下的坐标为$(x,y)$，则有

$$x{\alpha }_1+y{\alpha }_2=\beta$$

即

$$x(1,2)+y(3,1)=(5,4)$$

这可以转化为线性方程组

$$\{\begin{array}{l}x+3y=5\\ 2x+y=4\end{array}$$

解这个方程组，得到$x=1$，$y=\frac{4}{3}$。因此，向量$\beta =(5,4)$在基 { α 1 , α 2 } \{\alpha_1, \alpha_2\} {
α1​,α2​}下的坐标为$(1,\frac{4}{3})$。

• 基（Basis）和线性组合（Linear Combination）
  在线性代数中，基（Basis）和线性组合（Linear Combination）是两个核心概念，它们紧密相关并共同构成了线性空间（或向量空间）的基础结构。
  

一个线性空间$V$的基是该空间中的一组线性无关的向量，这些向量的所有可能的线性组合能够生成（或“张成”）整个线性空间$V$。换句话说，基是线性空间中最小的生成集，同时也是线性无关的。

• 线性无关：如果一组向量中的任何一个向量都不能由其他向量线性表示，则称这组向量是线性无关的。
• 生成：如果线性空间$V$中的每一个向量都可以表示为这组向量的线性组合，则称这组向量生成（或张成）了$V$。

线性组合（Linear Combination）

线性组合是指将一组向量按照某种方式加权求和，其中每个向量的权重都是一个标量（通常是实数或复数）。给定一组向量${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$和一组标量$x_1,x_2,\dots ,x_n$，则它们的线性组合是

$$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n$$

解答问题

对于之前提到的例题，我们可以更详细地解答如下：

例题：在二维线性空间$V$中，已知基为${\alpha }_1=(1,2)$和${\alpha }_2=(3,1)$，求向量$\beta =(5,4)$在这组基下的坐标。

解：

1. 设坐标：设向量$\beta$在基 { α 1 , α 2 } \{\alpha_1, \alpha_2\} {
   α1​,α2​}下的坐标为$(x,y)$。
2. 写线性组合：根据线性组合的定义，我们有

   $$x{\alpha }_1+y{\alpha }_2=\beta$$

   即

   $$x(1,2)+y(3,1)=(5,4)$$

3. 展开并比较：将上述线性组合展开，得到

   $$(x\cdot 1+y\cdot 3,x\cdot 2+y\cdot 1)=(5,4)$$

   这可以转化为两个方程：

   $$\{\begin{array}{l}x+3y=5\\ 2x+y=4\end{array}$$

4. 解方程组：解这个二元一次方程组，可以使用消元法、代入法或矩阵方法。解得

   $$x=1,y=\frac{4}{3}$$

5. 得出结论：因此，向量$\beta =(5,4)$在基 { α 1 , α 2 } \{\alpha_1, \alpha_2\} {
   α1​,α2​}下的坐标为$(1,\frac{4}{3})$。

这个解答过程展示了如何使用基和线性组合的概念来求解向量在给定基下的坐标。

参考文献