二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法

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这篇文章讲无权二分图（unweighted bipartite graph）的最大匹配（maximum matching）和完美匹配（perfect matching），以及用于求解匹配的匈牙利算法（Hungarian Algorithm）；不讲带权二分图的最佳匹配。

1. 二分图的基本知识点

二分图：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集 $U$ 和$V$ ，使得每一条边都分别连接$U$、$V$中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰，我们以后都把它画成图 2 的形式。

匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。

我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。

最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。

完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。

举例来说：如下图所示，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是完美匹配问题。如果换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿？这就是最大匹配问题。

基本概念讲完了。求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法，下面讲的概念都为这个算法服务。

交替路：从一个未匹配点出发(右)，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。

增广路：从一个未匹配点出发(右)，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：

增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。

我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。匈牙利算法正是这么做的。在给出匈牙利算法 DFS 和 BFS 版本的代码之前，先讲一下匈牙利树。

2. 匈牙利树

匈牙利树一般由 BFS 构造（类似于 BFS 树）。从一个未匹配点出发运行 BFS（唯一的限制是，必须走交替路），直到不能再扩展为止。例如，由图 7，可以得到如图 8 的一棵 BFS 树：

这棵树存在一个叶子节点为非匹配点（7 号），但是匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点（重点），因此这不是一棵匈牙利树。如果原图中根本不含 7 号节点，那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这种情况如图 9 所示（顺便说一句，图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路，沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配）。

匈牙利树就是存在的可连接的匹配点都列出来（BFS）

最后再看一下由增广路径的定义可以推出的三个结论：

①P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M，因为两个端点分属两个集合，且未匹配（单独的一条连接两个未匹配点的边显然也增广路径）.

②P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M

③M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径

 
3. 具体例子（本处是我自己制作的一个例子，此处不贴代码，代码可以到原地址去找）

步骤1.一开始为空匹配，此时我选择匹配1-a

步骤2.根据图b建立类BFS树，可选择的空匹配点为2, 3, 4, a, b, c  .由空匹配点2建立的类BFS树（有增广路径），所以建立增广路径2-b（你也可以2-c）

根据上面右图建立关于空匹配点3的类BFS树（有增广路径），所以建立路径3-a-1-b-2-c

建立空匹配点4的匈牙利树，无增广路径，因为所有的叶结点都是匹配点。

步骤3.最后的最大匹配结果为：

下面给出匈牙利算法的 DFS 和 BFS 版本的代码：

// 顶点、边的编号均从 0 开始 // 邻接表储存 struct Edge { int from; int to; int weight; Edge(int f, int t, int w):from(f), to(t), weight(w) {} }; vector<int> G[__maxNodes]; /* G[i] 存储顶点 i 出发的边的编号 */ vector<Edge> edges; typedef vector<int>::iterator iterator_t; int num_nodes; int num_left; int num_right; int num_edges;

int matching[__maxNodes]; /* 存储求解结果 */ int check[__maxNodes]; bool dfs(int u) { for (iterator_t i = G[u].begin(); i != G[u].end(); ++i) { // 对 u 的每个邻接点 int v = edges[*i].to; if (!check[v]) { // 要求不在交替路中 check[v] = true; // 放入交替路 if (matching[v] == -1 || dfs(matching[v])) { // 如果是未盖点，说明交替路为增广路，则交换路径，并返回成功 matching[v] = u; matching[u] = v; return true; } } } return false; // 不存在增广路，返回失败 } int hungarian() { int ans = 0; memset(matching, -1, sizeof(matching)); for (int u=0; u < num_left; ++u) { if (matching[u] == -1) { memset(check, 0, sizeof(check)); if (dfs(u)) ++ans; } } return ans; }

queue<int> Q; int prev[__maxNodes]; int Hungarian() { int ans = 0; memset(matching, -1, sizeof(matching)); memset(check, -1, sizeof(check)); for (int i=0; i<num_left; ++i) { if (matching[i] == -1) { while (!Q.empty()) Q.pop(); Q.push(i); prev[i] = -1; // 设 i 为路径起点 bool flag = false; // 尚未找到增广路 while (!Q.empty() && !flag) { int u = Q.front(); for (iterator_t ix = G[u].begin(); ix != G[u].end() && !flag; ++ix) { int v = edges[*ix].to; if (check[v] != i) { check[v] = i; Q.push(matching[v]); if (matching[v] >= 0) { // 此点为匹配点 prev[matching[v]] = u; } else { // 找到未匹配点，交替路变为增广路 flag = true; int d=u, e=v; while (d != -1) { int t = matching[d]; matching[d] = e; matching[e] = d; d = prev[d]; e = t; } } } } Q.pop(); } if (matching[i] != -1) ++ans; } } return ans; }

匈牙利算法的要点如下

1. 从左边第 1 个顶点开始，挑选未匹配点进行搜索，寻找增广路。
   1. 如果经过一个未匹配点，说明寻找成功。更新路径信息，匹配边数 +1，停止搜索。
   2. 如果一直没有找到增广路，则不再从这个点开始搜索。事实上，此时搜索后会形成一棵匈牙利树。我们可以永久性地把它从图中删去，而不影响结果。
2. 由于找到增广路之后需要沿着路径更新匹配，所以我们需要一个结构来记录路径上的点。DFS 版本通过函数调用隐式地使用一个栈，而 BFS 版本使用 prev 数组。

性能比较

两个版本的时间复杂度均为$O\big(V \cdot E\big)$。DFS 的优点是思路清晰、代码量少，但是性能不如 BFS。我测试了两种算法的性能。对于稀疏图，BFS 版本明显快于 DFS 版本；而对于稠密图两者则不相上下。在完全随机数据 9000 个顶点 4,0000 条边时前者领先后者大约 97.6%，9000 个顶点 100,0000 条边时前者领先后者 8.6%, 而达到 500,0000 条边时 BFS 仅领先 0.85%。

补充定义和定理：

最大匹配数：最大匹配的匹配边的数目

最小点覆盖数：选取最少的点，使任意一条边至少有一个端点被选择

最大独立数：选取最多的点，使任意所选两点均不相连

最小路径覆盖数：对于一个 DAG（有向无环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于一条路径。路径长可以为 0（即单个点）。

定理1：最大匹配数 = 最小点覆盖数（这是 Konig 定理）

定理2：最大匹配数 = 最大独立数

定理3：最小路径覆盖数 = 顶点数 – 最大匹配数

搜索思想——DFS & BFS（基础基础篇）

DFS（Deep First Search）深度优先搜索。

BFS（Breath First Search）广度优先搜索。

今天想说一说个人对于这两个搜索方法的见解。在我看来，DFS与BFS是算法道路上最基础最容易掌握的，同时，又能提供巨大助力的方法之一。我这里斗胆用方法二字来形容DFS以及BFS，用搜索思想来囊括二者。方法是死的，而思想是活的，我们应该通过对这两种方法的剖析来获得这种思想，因为无论是在现实问题还是算法题目上，问题模型都是多变的，我们要着重于理解思想而后针对特定问题能用最佳的方法去解决。

话不多说，我们先从DFS说起。

1.DFS（深度优先搜索）

讲搜索当然不能撇开图，搜索思想在图问题中能以最直观的方式展现。下面是我个人对于DFS的理解与概括，如果你是初学者看不懂可以结合后面举的例子来理解，如果对于我的总结哪里有不对的地方欢迎私信指正我。

深度优先搜索的步骤分为 1.递归下去 2.回溯上来。顾名思义，深度优先，则是以深度为准则，先一条路走到底，直到达到目标。这里称之为递归下去。

否则既没有达到目标又无路可走了，那么则退回到上一步的状态，走其他路。这便是回溯上来。

下面结合具体例子来理解。

如图所示，在一个迷宫中，黑色块代表玩家所在位置，红色块代表终点，问是否有一条到终点的路径

我们用深度优先搜索的方法去解这道题，由图可知，我们可以走上下左右四个方向，我们规定按照左下右上的方向顺序走，即，如果左边可以走，我们先走左边。然后递归下去，没达到终点，我们再回溯上来，等又回溯到这个位置时，左边已经走过了，那么我们就走下边，按照这样的顺序与方向走。并且我们把走过的路标记一下代表走过，不能再走。

所以我们从黑色起点首先向左走，然后发现还可以向左走，最后我们到达图示位置

已经连续向左走到左上角的位置了，这时发现左边不能走了，这时我们就考虑往下走，发现也不能走，同理，上边也不能走，右边已经走过了也不能走，这时候无路可走了，代表这条路是死路不能帮我们解决问题，所以现在要回溯上去，回溯到上一个位置，

在这个位置我们由上可知走左边是死路不行，上下是墙壁不能走，而右边又是走过的路，已经被标记过了，不能走。所以只能再度回溯到上一个位置寻找别的出路。

最终我们回溯到最初的位置，同理，左边证明是死路不必走了，上和右是墙壁，所以我们走下边。然后递归下去

到了这个格子，因为按照左下右上的顺序，我们走左边，递归下去

一直递归下去到最左边的格子，然后左边行不通，走下边。

然后达到目标。DFS的重要点在于状态回溯。代码如下

int goal_x = 9, goal_y = 9; //目标的坐标，暂时设置为右下角 int n = 10 , m = 10; //地图的宽高，设置为10 * 10的表格 int graph[n][m]; //地图 int used[n][m]; //用来标记地图上那些点是走过的 int px[] = {-1, 0, 1, 0}; //通过px 和 py数组来实现左下右上的移动顺序 int py[] = {0, -1, 0, 1}; int flag = 0; //是否能达到终点的标志 void DFS(int graph[][], int used[], int x, int y) { // 如果与目标坐标相同，则成功 if (graph[x][y] == graph[goal_x][goal_y]) { printf("successful"); flag = 1; return ; } // 遍历四个方向 for (int i = 0; i != 4; ++i) { //如果没有走过这个格子 int new_x = x + px[i], new_y = y + py[i]; if (new_x >= 0 && new_x < n && new_y >= 0 && new_y < m && used[new_x][new_y] == 0 && !flag) { used[new_x][new_y] = 1; //将该格子设为走过 DFS(graph, used, new_x, new_y); //递归下去 used[new_x][new_y] = 0;//状态回溯，退回来，将格子设置为未走过 } } } 

2.BFS（广度优先搜索）

广度优先搜索较之深度优先搜索之不同在于，深度优先搜索旨在不管有多少条岔路，先一条路走到底，不成功就返回上一个路口然后就选择下一条岔路，而广度优先搜索旨在面临一个路口时，把所有的岔路口都记下来，然后选择其中一个进入，然后将它的分路情况记录下来，然后再返回来进入另外一个岔路，并重复这样的操作，用图形来表示则是这样的，例子同上

从黑色起点出发，记录所有的岔路口，并标记为走一步可以到达的。然后选择其中一个方向走进去，我们走黑点方块上面的那个，然后将这个路口可走的方向记录下来并标记为2，意味走两步可以到达的地方。

接下来，我们回到黑色方块右手边的1方块上，并将它能走的方向也记录下来，同样标记为2，因为也是走两步便可到达的地方

这样走一步以及走两步可以到达的地方都搜索完毕了，下面同理，我们可以迅速把三步的格子给标记出来

再之后是四步，五步。

我们便成功寻找到了路径，并且把所有可行的路径都求出来了。在广度优先搜索中，可以看出是逐步求解的，反复的进入与退出，将当前的所有可行解都记录下来，然后逐个去查看。在DFS中我们说关键点是递归以及回溯，在BFS中，关键点则是状态的选取和标记。

代码如下

int n = 10, m = 10; //地图宽高 void BFS() { queue que; //用队列来保存路口 int graph[n][m]; //地图 int px[] = {-1, 0, 1, 0}; //移动方向的数组 int py[] = {0, -1, 0, 1}; que.push(起点入队); //将起点入队 while (!que.empty()) { //只要队列不为空 auto temp = que.pop(); //得到队列中的元素 for (int i = 0; i != 4; ++i) { if(//可以走) { //标记当前格子 //将当前状态入队列，等待下次提取 } } } } 

注：以上两个代码只是提供思路，并非是语法正确的可运行代码。

3.总结

对于这两个搜索方法，其实我们是可以轻松的看出来，他们有许多差异与许多相同点的。

1.数据结构上的运用

DFS用递归的形式，用到了栈结构，先进后出。

BFS选取状态用队列的形式，先进先出。

2.复杂度

DFS的复杂度与BFS的复杂度大体一致，不同之处在于遍历的方式与对于问题的解决出发点不同，DFS适合目标明确，而BFS适合大范围的寻找。

3.思想

思想上来说这两种方法都是穷竭列举所有的情况。

二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法

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算法学习笔记(5)：匈牙利算法

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