多元函数第三：线性变换（4）旋转

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上一篇博文介绍了一般的等距变换。本文介绍一个特殊的等距变换，即旋转变换。这里介绍旋转，指的是二维平面上的旋转。对于n维平面，结论完全类似，只是多了几个自由度而已。

在二维平面上，对一个向量a进行旋转变换，是指将它逆时针旋转一个角度 $\alpha$ ，从而得到一个新的向量a’。见图1。

图1

为了证明旋转变换是线性变换，我们需要验证如下命题。

命题1. 设 $L_{\alpha}$ 是二维平面上的一个旋转变换。对任意的 $a\in R^2$ 都有a到 $a'=L_{\alpha}(a)$ 的夹角为 $\alpha$ ，如图1所示。那么， $L_{\alpha}$ 是一个线性变换。更确切地说，对任意的 $a,b\in R^2,p,q\in R$ 有

$L_{\alpha}(pa+qb)=pL_{\alpha}(a)+qL_{\alpha}(b)$ .

证明. 我们分两步来完成，这两步都是用几何的方法证明。

首先，我们证明 $L_{\alpha}(pa)=pL_{\alpha}(a)$ 。我们记向量

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多元函数第三：线性变换（4）旋转

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