机器人动力学简述 Robot Dynamics

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机器人动力学有两个问题需要解决：

1. 动力学正问题——根据关节驱动力矩或力，计算机器人的运动（关节位移、速度和加速度）；
2. 动力学逆问题——已知轨迹运动对应的关节位移、速度和加速度，求出所需要的关节力矩或力。

欧拉-拉格朗日方程 Euler-Lagrange Equation

完整约束 Holonomic Constraint

假设空间中存在一个由 $k$ 个质点组成的系统，各个质点对应的向量为 $r_1,\dots ,r_k$。 如果这些质点在运动的过程中会受到某种形式的约束，那么在分析其动力学时，我们要考虑反约束力(constraint force)，即保持这些约束所需要施加的力。例如刚性无质量连杆两端的两个质点 $r_1,r_2$，他们之间的约束为：
$$(r_1-r_2{)}^T(r_1-r_2)={\ell }^2$$分析这两个质点的运动时，我们希望找到一种方法，它并不需要我们知道具体的约束力。为了进一步分析，我们引入一些必要的术语。
对于有关 $k$ 个坐标的约束，如果具有如下等式约束形式：
$$g_i(r_1,\dots ,r_k)=0,i=1,\dots ,\ell$$那么该约束被称为完整的 (holonomic)。容易看出，对其做微分操作可以得到：
$$\sum _{j=1}^k\frac{\partial g_i}{\partial r_j}\cdot \mathrm{d}{r}_j=0$$
而一个形如
$$\sum _{j=1}^k{\omega }_j\cdot \mathrm{d}{r}_j=0$$的约束是不完整的 (nonholonomic)，如果它不能被积分成上述等式约束形式。如果一个系统受制于 $\ell$ 个非完整约束，那么我们可以认为对于这个约束系统而言，它相比于非约束系统少了 $\ell$ 个自由度。

虚功原理 Principle of Virtual Work

考虑约束 $(r_1-r_2{)}^T(r_1-r_2)={\ell }^2$， 一组与约束相一致的无穷小位移 $\delta r_1,\delta r_2$ 被称为虚位移， 假设 $r_1,r_2$收到扰动分别变为 $r_1+\delta r_1,r_2+\delta r_2$。那么我们有
$$(r_1+\delta r_1-r_2-\delta r_2{)}^T(r_1+\delta r_1-r_2-\delta r_2)={\ell }^2$$忽略掉虚位移的二次项，很容易得到
$$(r_1-r_2{)}^T(\delta r_1-\delta r_2)=0$$ 令 $r_i=r_i(q_1,\dots ,q_n),i=1,\dots ,k$。对上式求微分很容易得到所有的虚位移组合恰是
$$\delta r_i=\sum _{j=1}^n\frac{\partial r_i}{\partial q_i}\delta q_i,i=1,\dots ,k$$其中广义坐标的虚位移 $\delta q_i$ 不受约束， 这也是它们成为广义坐标的原因。

虚功原理不具备普适性，它要求 ${\sum }_{i=1}^k{f}_i^{aT}\delta r_i=0$ 成立，也就是约束力不做功。虚功原理适用于刚性是对运动的唯一约束这一情形。

达朗贝尔原理 D’ Alembert’s Principle

公式 ${\sum }_{i=1}^k{f}_i^T\delta r_i=0$ 中虚位移不是互相独立的，因此我们不能从该公式中推出每个系数 $F_i$ 都为零这样的结论。考虑一个不一定处于平衡态的系统，达朗贝尔原理指出：如果在每个质点上引入一个虚构的付加力 $-{\dot{p}}_i$ ，其中 $p_i$ 为质点 $i$ 的动量，那么每个质点将会处于平衡状态。简言之就是：对于任何物体，外加力和运动阻力（惯性力）在任何方向上的代数和均为零。因此，我们可以用 $F_i-{\dot{p}}_i$ 来代替 $F_i$，所得的方程对任意系统适用。如果惯性坐标系的原点为刚体的质心，则达朗贝尔原理归结为：线动量和角动量的导数分别等于外力和外力矩。

动力学方程 Dynamic Equation

为了使用欧拉-拉格朗日方程，我们下面推导刚性连杆机器人的动能和势能表达式，使用Denavit-Hartenberg关节变量作为广义坐标。

动能 Kinetic Energy

势能 Potential Energy

动力学方程 Dynamic Equation

我们专门研究下述两种条件下的欧拉-拉格朗日方程：

1. 动能是向量 $\dot{q}$ 的二次函数，并且形如$$\mathcal{K}=\frac{1}{2}{\dot{q}}^{T}D(q)\dot{q}=\frac{1}{2}\sum _{i,j}{d}_{ij}(q){\dot{q}}_i{\dot{q}}_j$$
2. 势能 $\mathcal{P}=\mathcal{P}(q)$ 与 $\dot{q}$ 无关。

运动方程的性质 Properties

反对称性 Skew Symmetry

矩阵 $N(q,\dot{q})=\dot{D}(q)-2C(q,\dot{q})$是反对称的，即 $n_{jk}=-n_{kj}$ 。

无源性 Passivity

存在一个常数 $\beta \ge 0$ 使得 ${\int }_0^T{\dot{q}}^T(\xi )\tau (\xi )\mathrm{d}\xi \ge -\beta ,\forall T>0$。

参数线性化 Linearity-in-the-parameter

存在 $n\times \ell$ 的函数 $Y(q,\dot{q},\ddot{q})$，以及 $\ell$维向量 $\Theta$，使得欧拉-拉格朗日方程可被写为
$$D(q)\ddot{q}+C(q,\dot{q})\dot{q}+g(q)=Y(q,\dot{q},\ddot{q})\Theta$$函数 $Y(\cdot )$ 被称为回归方程，而 $\Theta \in {\mathbb{R}}^{\ell }$为参数向量。

• Thanks Mark W. Spong for his great of Robot Modeling and Control.
• 感谢熊有伦等——《机器人学：建模、控制与视觉》.