【集合论】序关系 ( 链 | 反链 | 链与反链示例 | 链与反链定理 | 链与反链推论 | 良序关系 )

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一、链

$<A,\preccurlyeq >$ 是 偏序集 , $B\subseteq A$ ,

偏序集中一组元素组成集合 $B$ , 如果 $B$ 集合中的元素两两都可比 , 则称 $B$ 集合是该偏序集 $<A,\preccurlyeq >$ 的链 ;

符号化表示 : $\forall x\forall y(x\in B\wedge y\in B\to x与y可比)$

链的本质是一个集合

$|B|$ 是链的长度

二、反链

$<A,\preccurlyeq >$ 是 偏序集 , $B\subseteq A$ ,

偏序集中一组元素组成集合 $B$ , 如果 $B$ 集合中的元素两两都 不可比 , 则称 $B$ 集合是该偏序集 $<A,\preccurlyeq >$ 的 反链 ;

符号化表示 : $\forall x\forall y(x\in B\wedge y\in B\wedge x\ne y\to x与y不可比)$

反链的本质是一个集合

$|B|$ 是反链的长度

三、链与反链示例

参考博客 : 【集合论】偏序关系 相关题目解析 ( 偏序关系 中的特殊元素 | 绘制哈斯图 | 链 | 反链 )

四、链与反链定理

$<A,\preccurlyeq >$ 是 偏序集 , $B\subseteq A$ ,

$A$ 集合中最长链长度是 $n$ , 则有以下结论 :

① $A$ 集合中存在极大元 ;

$A$ 集合的极大元就是最长链中最大的元素 ;

② $A$ 集合中存在 $n$ 个划分块 , 每个划分块都是反链 ;

将 链 中的极大元 , 与该极大元不可比的元素放在一个集合中 , 构成一个划分块 ; ( 注意划分块中的元素互相不可比 )

在链上剩余的元素中 , 再次选择一个极大元 , 然后将与该极大元不可比的元素放在一个集合中 , 构成另一个划分块 ;

$⋮$

下面的示例讲解了如何划分 :

上述偏序集中 , 最长的链长度是 $6$ ;

① 将极大元 $g,h$ , 与该极大元不可比的剩余元素 $k$ 放在一个集合中 ;

A 1 = { g , h , k } A_1 = \{ g , h , k \} A1​={
g,h,k}

② 将剩余元素的极大元 $f$ , 与该极大元不可比的剩余元素 $j$ 放在一个集合中 ;

A 2 = { f , j } A_2 = \{ f,j \} A2​={
f,j}

③ 将剩余元素的极大元 $e$ , 与该极大元不可比的剩余元素 $i$ 放在一个集合中 ;

A 3 = { e , i } A_3 = \{ e, i \} A3​={
e,i}

④ 将剩余元素的极大元 $d$ , 剩余的元素都与该极大元科比 ;

A 4 = { d } A_4 = \{ d \} A4​={
d}

⑤ 将剩余元素的极大元 $c$ , 剩余的元素都与该极大元科比 ;

A 5 = { c } A_5 = \{ c\} A5​={
c}

⑥ 将剩余元素的极大元 $a,b$ , 没有剩余元素了 ;

A 6 = { a , b } A_6 = \{ a,b \} A6​={
a,b}

整体的划分为 : A = { { g , h , k } , { f , j } , { e , i } , { d } , { c } , { a , b } } \mathscr{A} = \{ \{ g , h , k \} ,\{ f,j \} , \{ e, i \} , \{ d \} , \{ c\} , \{ a,b \} \} A={
{
g,h,k},{
f,j},{
e,i},{
d},{
c},{
a,b}}

每次都将最长链去掉一层 , 最终将最长链去除干净 , 得到 $n$ 个划分块 ;

五、链与反链推论

$<A,\preccurlyeq >$ 是 偏序集 , $B\subseteq A$ ,

$A$ 集合大小为 $mn+1$ , $|A|=mn+1$ , 则有以下结论 :

$A$ 集合中要么存在 $m+1$ 的反链 , 要么存在 $n+1$ 的链 ;

使用反证法证明 :

如果既没有 $m+1$ 的反连 , 又没有 $n+1$ 的链 ,

假设有长度为 $n$ 的链 , 长度为 $m$ 的反连 ,

$A$ 集合最多划分 $n$ 个划分块 , 每个划分块最多有 $m$ 个元素 , 该集合最多有 $mn$ 个元素 , 与 $|A|=mn+1$ 矛盾 ;

六、链与反链推论示例

上述偏序集中 , 最长的链长度是 $6$ ;

A = { a , b , c , d , e , f , g , h , k , j , i } A = \{ a,b,c,d,e,f,g,h,k,j,i \} A={
a,b,c,d,e,f,g,h,k,j,i} 集合中 , 元素个数是 $11$ 个 ,

$A$ 集合中有

• 长度为 $6$ 的链 , { a , c , d , e , f , g } \{ a, c,d, e,f, g \} {
  a,c,d,e,f,g} , { b , c , d , e , f , h } \{ b, c,d, e,f, h \} {
  b,c,d,e,f,h}
• 长度为 $3$ 的反链 , { g , h , k } \{ g,h,k \} {
  g,h,k} , { a , b , i } \{ a,b,i \} {
  a,b,i} , { g , h , i } \{ g,h,i \} {
  g,h,i} , { a , b , k } \{ a,b,k \} {
  a,b,k}

$|A|=11=2\times 5+1$

$A$ 集合中要么有长度为 $2+1=3$ 的反链 , 要么有长度为 $5+1=6$ 的链 ; ( 两个都满足 )
或

$A$ 集合中要么有长度为 $5+1=6$ 的反链 , 要么有长度为 $2+1=3$ 的链 ; ( 满足长度为 $3$ 的链 )

$A$ 集合上的划分 :

• A = { { g , h , k } , { f , j } , { e , i } , { d } , { c } , { a , b } } \mathscr{A} = \{ \{ g , h , k \} ,\{ f,j \} , \{ e, i \} , \{ d \} , \{ c\} , \{ a,b \} \} A={
  {
  g,h,k},{
  f,j},{
  e,i},{
  d},{
  c},{
  a,b}}
• A = { { g , h } , { f } , { e } , { d } , { c , j } , { a , b , i } } \mathscr{A} = \{ \{ g , h \} ,\{ f \} , \{ e \} , \{ d \} , \{ c, j\} , \{ a,b , i \} \} A={
  {
  g,h},{
  f},{
  e},{
  d},{
  c,j},{
  a,b,i}}

七、良序关系

$<A,\prec >$ 是 拟全序集 ,

如果 $A$ 集合中的任何非空子集 $B$ , 都有最小元 ,

则称 $\prec$ 是集合 $A$ 上的良序关系 ,

称 $<A,\prec >$ 为良序集

$<N,<>$ 是良序集 , $N$ 集合中的非空子集有最小元 , 最小就是 $0$ ;

$<Z,<>$ 不是良序集 , $Z$ 集合中的非空子集可能没有最小元 , 可能是 $-\infty$ ;