金融时间序列分析：4. AR自回归模型

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1. 前言

2. AR模型

AR模型：（Autoregressive Model）自回归模型，是时间序列分析模型中最简单的两个模型其中之一（另一个事MA模型）。

利用前期若干时刻的随机变量的线性组合来描述以后某时刻随机变量的线性回归模型

其中{
$a_t$ }是均值为0,方差为 $\sigma^2$ 的白噪声序列。

3. AR（1）

3.1 模型公式

x t = ϕ 0 + ϕ 1 x t - 1 + a t, . . . . . . . . . . . . . . .3 .1

$x_t = \phi_0 + \phi_1x_{t-1} + a_t, ...............3.1$

(1 - ϕ 1 B) x t = ϕ 0 + a t

$(1 − \phi_1B)x_t = \phi_0 + a_t$

3.2 数学特征

期望

E (x t) = μ = ϕ 0 1 - ϕ 1, . . . . . . . . . . . . . . . .3 .2

$E(x_t) = \mu = \frac{\phi_0}{1-\phi_1}, ................3.2$

推导方法：直接对公式3.1两边求期望即可

x t - μ = ϕ 1 (x t - 1 - μ) + a t, . . . . . . . . . . . . . . . .3 .3

$x_t - \mu = \phi_1(x_{t-1} - \mu) + a_t,................3.3$

方差

V a r (x t) = σ a 2 1 - ϕ 1 2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 .4

$Var(x_t) = \frac{{\sigma_a}^2}{1-{\phi_1}^2},....................3.4$

推导方法：直接对公式3.1两边求方差即可

协方差

自相关函数

ρ k = ϕ 1 ρ k - 1, k > 0

$\rho_k = \phi_1\rho_{k-1}, k > 0$

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