数学 交换律

交换律是被普遍使用的一个数学名词，意指能改变某物的顺序而不改变其最终结果。交换律是大多数数学分支中的基本性质，而且许多的数学证明需要倚靠交换律。简单运算的交换律许久都被假定存在，且没有给定其一特定的名称，直到19世纪，数学家开始形式化数学理论之后。

[编辑]一般用法

交换律是一个和二元运算及函数有关的性质。而若交换律对一特定二元运算下的一对元素成立，则称这两个元素为在此运算下是“可交换”的。

在群论和集合论中，许多的代数结构被称做是可交换的，若其中的运算域满足交换律。在数学分析和线性代数中，一些知名的运算（如实数及复数上的加法和乘法）的交换律会经常被用于（或假定存在于）证明之中。^[1][2][3]

[编辑]数学定义

“可交换”一词被使用于如下几个相关的概念中^[4][5]：

1. 在集合 S 的一二元运算 * 被称之为“可交换”的，若：

x ∗ 
y = 
y ∗ 
x ∀ 
x,y ∈ 
S

• 一个不满足上述性质的运算则称之为“不可交换”的。

2. 若称 x 在 * 下和 y “可交换”，即表示：

x ∗ 
y = 
y ∗ 
x

3. 一二元函数 f:A×A → B被称之为“可交换”的，若：

f(
x,
y) = f(
y,
x) ∀ 
x,
y ∈ 
A.

[编辑]历史

对交换律假定存在的应用早在很久之前便已有所记戴。埃及人用乘法的交换律来简化乘积的计算。^[6][7]且知欧几里得在《几何原本》中已有假定了乘法交换律的存在。^[8]对交换律形式上的应用产生于18世纪末19世纪初，那时数学家开始在研究函数的理论。今日，交换律已被普遍认知，且在大多数的数学分支中被当做基本性质来使用。交换律的简易版本通常会在初等数学教程中被教导。

第一个使用“可交换（commutative）”一词的是 Francois Servois 于1814年写下的笔记^[9][10]，这一词在笔记中被用来指有着现在称之为交换律的函数。这一词首次出现于英语中的是在1844年的英国皇家学会哲学汇刊中。^[11]

[编辑]相关性质

[编辑]结合律

主条目： 结合律

结合律和交换律密切相关着。结合律是指运算的顺序并不会影响其最终结果。相对地，交换律则是指算子的顺序不会影响其最终结果的性质。

[编辑]对称

主条目： 对称

对称可以和交换律有直接的关连。若将一个可交换运算子写成一个二元函数，则此一函数会对 y = x 这条线对称。举例来说，若设一函数 f 来表示加法（一可交换运算），所以 f(x,y) = x + y ，也因此 f 会是个如右图所见的对称函数。

[编辑]例子

[编辑]日常生活中的可交换运算

• 洗一双鞋子可类比为一可交换运算，因为不论是左边的鞋子先洗，还是右边的鞋子先洗，最终的结果（两只鞋子都洗好）是一样的。
• 成语“朝三暮四”也可看做是可交换运算的一个例子。

[编辑]数学中的可交换运算

两个广为人知的可交换二元运算的例子为^[12]：

• 实数的加法

例如， 
4 + 5 = 5 + 4 ，两个 表示式都等于 9 。

• 实数的乘法

例如， 
3 × 5 = 5 × 3 ，两者都等于 15 。

• 更多可交换二元运算的例子包括复数的乘法、矢量的加法、和集合的交集与并集。

[编辑]日常生活中的不可交换运算

• 洗衣和干衣可类比成不可交换运算，因为先干衣再洗衣和先洗衣再干衣两者会得出很不同的结果来。
• 魔术方块是不可交换的。例如，将正面顺时针扭转，顶面顺时针扭转，再将正面逆时针扭转（FUF’），并不会得出如将正面顺时针扭转，再将正面逆时针扭转，最后再将顶面顺时针扭转（FF’U）一样的结果。扭转是不可交换的。这些扭转被研究于群论中。

[编辑]数学中的不可交换运算

一些不可交换二元运算^[13]有：

• 减法：  不过可将其减法符号转换成负数，即可使用交换律。
• 除法：  可将除法转换成乘分数以使用交换律。
• 矩阵乘法：