2019-10-06 线性系统的理解

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线性系统标准定义

线性系统（Linear System）：一个松弛系统称为线性的，当且仅当对于任何的输入$u_1$和$u_2$，以及任何的实数$\alpha$，均有
$$H(u_1+u_2)=H{u}_1+H{u}_2$$$$H(\alpha u_1)=\alpha H{u}_1$$否则称为是非线性的。

线性系统的直观形式

非线性系统举例

那么什么样子是非线性系统呢？例如：带三角函数的$sin$、$cos$、$tan$或者$\frac{d^{n}x(t)}{d{t}^n}\cdot \frac{d^{m}x(t)}{d{t}^m}$，诸如此类不符合可加性和齐次性的均为非线性系统，统一使用$f(x)$表示。

为什么叫线性，而不叫面性或者立体性

在《矩阵论》中，第一章必然讲到线性空间、线性相关和线性变换，那么这里的线性又为什么叫这个名字？与自动控制原理、现代控制理论中的线性是不是一个线性呢？答案是肯定的。

1. 我们回到最简单的形式，将[自动控制原理][01][zhangfan_space]——因果系统的理解中的连续系统的微分方程，考虑最简单的情况：
   $$a_{0}y(t)=b_{0}u(t)$$
   直观来看，是不是特别熟悉？与小学学习的一元一次方程特别像？没错，这玩意儿就是小学学过的一元一次方程$$y=kx$$
   这就尴尬了！！！
   它为啥叫线性呢，因为它在二维坐标中画出来是一条直线，它就是个直线，它不叫线性叫啥？
   
   
   
   
2. 好的，再考虑稍微复杂一点的情况$$a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)=b_{0}u(t)$$
   如果我们将$\frac{dy(t)}{dt}$当作新的变量，令其等于$x(t)$，则左边就等于$$a_{1}x(t)+a_{0}y(t)$$
   OMG，这东西看着也很熟悉，这是二元一次方程
   $$y=k_1{x}_1+k_2{x}_2$$
   它还是三维空间的一条直线。
   
   
   
   

OK，放弃挣扎，我们所描述的系统的数学形式就是$n$维空间的一条直线，所以它具备直线的性质，那么问题又来了，直线的性质是什么？

直线的性质——线性

直线的性质即为一开始讲的可加性和齐次性，那么直观来看是什么样呢？直观从$n$维空间去看，不严谨的讲，一条直线上的任意两点的连线都与原来的直线平行。

线性映射、线性仿射

1. 线性映射形如$y=ax$
2. 仿射形如$y=ax+b$，是在映射的基础上加了一个平移量

（注：不够严谨的地方望指正，谢谢?）