牛顿迭代法求解一元高阶方程

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       牛顿迭代法（Newton’s method），又称为牛顿-拉夫逊（Newton-Raphson）方法，是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。牛顿迭代法作为一种数值计算方法，具有收敛速度快、快速求解复杂方程、简单易用等优点，但也存在初始点选择问题、局限于单根问题、迭代公式的推导等缺点。在实际应用中，需要根据问题的复杂度、求解精度等因素，选择合适的数值计算方法，并进行多组试验和分析，以求得较为精确的结果。

1. 牛顿迭代法简介

1.1 牛顿迭代法背景

       由于多数方程不存在求根公式，求精确根非常困难，甚至不可解，因此寻找方程的近似根就显得特别重要。牛顿迭代法就是为解决这一问题而提出的。

1.2 牛顿迭代法原理

      牛顿迭代法基于函数的导数和函数值的信息，通过不断迭代逼近方程的根。假设要求解方程f(x) = 0的根，首先选取一个初始值x0。通过计算函数f(x)在x0处的导数，得到切线的斜率。然后，找到切线与x轴的交点，将该交点作为新的近似解x1。重复这一过程，不断迭代，直至达到所需精度。

1.3 牛顿迭代法公式

牛顿迭代格式为

牛顿迭代格式的误差为

1.4 牛顿迭代法的优点

1. 快速求解复杂方程：牛顿迭代法基于泰勒公式展开函数，在一定条件下可以保证收敛性，并且当迭代次数足够多时，可以达到非常高的精度。
2. 收敛速度快：与其他数值计算方法相比，牛顿迭代法的收敛速度非常快。因为牛顿迭代法的每一次迭代都会朝着方程根的方向进行逼近，而且逼近速度越来越快。
3. 简单易用：牛顿迭代法的求解过程相对简单，只需要根据泰勒公式展开函数，并进行一定的变量代换，就可以得到逐步逼近方程根的迭代公式。

1.5 牛顿迭代法的缺点

1. 初始点的选择问题：牛顿迭代法的收敛性与初始点的选取有关。如果初始点选择不当，可能会导致无法收敛或者收敛速度特别慢。
2. 局限于单根问题：牛顿迭代法只适用于求解单根问题，即方程只有一个解的情况。如果方程有多个解，牛顿迭代法可能会收敛到错误的解或者无法收敛。
3. 迭代公式的推导：牛顿迭代法的迭代公式需要推导，并且推导过程比较复杂。需要进行泰勒公式展开、变量代换等计算，而且还需要保证公式的收敛性和稳定性。

1.6 牛顿迭代法的应用

       牛顿迭代法在实际应用中广泛存在，如在计算机图形学中精确计算圆的周长、面积等参数，实现快速的路径追踪和光线追踪；在金融领域中计算隐含波动率；在机器学习、神经网络中进行梯度下降等。

2  用C#编写牛顿迭代法求解一元高阶方程

2.1  一元高阶方程

      我们以五次的一元方程为例，设该方程为，注意等式右边必须为0，其中a1~a5为x高阶系数，a0表示常数

     设置为函数形式可以得到

方程问题转换为了函数f(x)零点问题，即f(x)=0时，x的值。

2.2  牛顿迭代法代码

        由1.3章节可知，我们需要求解函数f(x)的值和其导数值，代码如下，函数返回值为double数组， double[0]表示f(x)的值，double[1]表示f(x)的导数值。

 /// <summary> /// 求解函数的值 /// </summary> /// <param name="a5">x的五次方 的系数</param> /// <param name="a4">x的4次方 系数</param> /// <param name="a3">x的3次方 系数</param> /// <param name="a2">x的2次方 系数</param> /// <param name="a1">x的1次方 系数</param> /// <param name="a0">常数</param> /// <param name="x">x的值</param> /// <returns>返回值double[]数组 double[0]表示函数的值 double[1]表示导数的值</returns> static double[] fxAnd_diff_fx(double a5,double a4,double a3,double a2,double a1,double a0,double x) { // 函数fx的值 double[] result= { a5* Math.Pow(x, 5) + a4 * Math.Pow(x, 4) + a3 * Math.Pow(x, 3) + a2 * Math.Pow(x, 2) + a1 * x + a0, 5*a5* Math.Pow(x, 4) + 4*a4 * Math.Pow(x, 3) + 3*a3 * Math.Pow(x, 2) + 2*a2 * Math.Pow(x, 1) + a1}; return result; }

整体代码如下

using System; using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Text; using System.Threading.Tasks; using System.Threading; namespace 牛顿迭代法求解一元高次方程 { class Program { /// <summary> /// 求解函数的值 /// </summary> /// <param name="a5">x的五次方 的系数</param> /// <param name="a4">x的4次方 系数</param> /// <param name="a3">x的3次方 系数</param> /// <param name="a2">x的2次方 系数</param> /// <param name="a1">x的1次方 系数</param> /// <param name="a0">常数</param> /// <param name="x">x的值</param> /// <returns>返回值double[]数组 double[0]表示函数的值 double[1]表示导数的值</returns> static double[] fxAnd_diff_fx(double a5,double a4,double a3,double a2,double a1,double a0,double x) { // 函数fx的值 double[] result= { a5* Math.Pow(x, 5) + a4 * Math.Pow(x, 4) + a3 * Math.Pow(x, 3) + a2 * Math.Pow(x, 2) + a1 * x + a0, 5*a5* Math.Pow(x, 4) + 4*a4 * Math.Pow(x, 3) + 3*a3 * Math.Pow(x, 2) + 2*a2 * Math.Pow(x, 1) + a1}; return result; } /// <summary> /// 求解的方程根 /// </summary> /// <param name="args"></param> static void Main(string[] args) { // x的五次方 的系数 double a5 = 5; // x的4次方 的系数 double a4 = -4; // x的3次方 的系数 double a3 = -3; // x的2次方 的系数 double a2 = -2; // x的1次方 的系数 double a1 = -1; // 方程的常数 double a0 = -4; // 迭代第k次x的值 double xk = 0; // 迭代第k+1次x的值 double xk_1 = 0; // 设置迭代次数 int iter = 1000; // 求解方程组的值 for(int i=0;i<iter;i++) { double[] result = fxAnd_diff_fx(a5, a4, a3, a2, a1, a0, xk); xk_1 = xk - result[0] / result[1]; Console.WriteLine("迭代第{0}次，迭代结果为{1}",i+1,xk_1); Thread.Sleep(10); xk= xk_1; } Console.ReadKey(); } } } 

2.3  代码运行演示结果

我们取 a5=5,   a4=-4,  a3=-3  ,a2=-2,   a1=-1,  a0=-4 （大家可以根据需要自行改，若是最高项为x的3次方，设置a5=0,  a4=0  即可）   迭代初值为xk=0;代码运行结果如下，运算结果约为1.5478