数值分析复习：数值积分概述

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数值积分法

基本概念

定义：数值积分公式
数值积分法是指逼近$I(f)={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$的任意数值方法；主要方法是根据函数值 $f(x_0),\dots ,f(x_n)$ 构造
$$I_n(f)=\sum _{i=0}^n{A}_{i}f(x_i)$$使得$I(f)\approx I_n(f)$；称其为数值积分公式，其截断误差为
$$E_n(f)=I(f)-I_n(f)$$

定义：代数精度
设 $m\in {\mathbb{N}}^{+}$，若 $E_n(f)$ 对 $f(x)=1,x,x^2,\dots ,x^m$ 都为 0，但对 $f(x)=x^{m+1}$ 不为0，则称数值积分公式的代数精度为m

注：代数精度是衡量数值积分公式优劣的指标，节点相同的数值积分公式，代数精度越高越优。

注：若节点个数限制为 $n+1$ 个，则数值积分公式的代数精度一般不超过 $2n+1$，这是因为一般最多列 $2n+2$ 个方程才能解出 $A_i$ 和 $f(x_i)$ 共 $2n+2$ 个未知数

插值型数值积分

定义：插值型数值积分
若数值积分公式 $I_n(f)=I(f)$ 对次数不大于 $n$ 的多项式精确成立，即对 $\forall f\in {\mathbb{P}}_n,E_n(f)=0$，则称数值积分 $I_n(f)$ 为插值型的

命题：下列等价

（1）$I_n(f)$ 为插值型的

（2）$I_n(f)$ 可由 $f(x)$ 基于节点 $x_0,\dots ,x_n$ 的 $n$ 次插值多项式 $L_n(f)$ 进行积分得到

注：由于 $n$ 次插值多项式的唯一性，视 $L_n(f)$ 即为 Lagrange 插值多项式，则有
$$\begin{array}{rl}I(L_n(f))& =I(\sum _{k=0}^{n}f(x_k)l_k(x))\\ & ={\int }_a^b\sum _{k=0}^{n}f(x_k)l_k(x)\mathrm{d}x\\ & =\sum _{k=0}^n({\int }_a^b{l}_k(x)\mathrm{d}x)f(x_k)\end{array}$$

所以（2）的意思就是将数值积分 $I_n(f)=\sum _{k=0}^n{A}_{k}f(x_k)$ 中的 $A_k$ 取为 ${\int }_a^b{l}_k(x)\mathrm{d}x$

证明思路
必要性：

由 $I_n(f)$ 为插值型积分可以得到 $E_n(L_n(f))=0$，即
$$\begin{array}{rl}I(L_n(f))-I_n(L_n(f))& =\sum _{k=0}^n({\int }_a^b{l}_k(x)\mathrm{d}x)f(x_k)-\sum _{k=0}^n{A}_k(L_n(f))(x_k)\\ & =\sum _{k=0}^n({\int }_a^b{l}_k(x)\mathrm{d}x-A_k)f(x_k)=0\end{array}$$

由 $f$ 的任意性，可得 $A_k={\int }_a^b{l}_k(x)\mathrm{d}x$

故对任意 $f\in {\mathbb{P}}_n$，有 $f=L_n(f)$

注：有的书上也将本命题中的（2）作为插值型数值积分的定义，从而该命题改述为 $I_n(f)$ 是插值型数值积分当且仅当它有 $n$ 次代数精度

命题
$\forall k=1,2,\dots ,n+1$，$I_n(f)$ 的代数精度为 $n+k$ 等价于

1. $I_n(f)$ 为插值型的
2. ${\omega }_{n+1}(x)=\prod _{i=0}^n(x-x_i)$ 与 ${\mathbb{P}}_{k-1}$ 正交：即
   $$\forall P(x)\in {\mathbb{P}}_{k-1},{\int }_a^b{\omega }_{n+1}(x)P(x)\mathrm{d}x=0$$
   

注：换句话说，对插值型数值积分，若想提高代数精度，就只需合理选择节点的分布，这是因为一组更好的节点可以使 ${\omega }_{n+1}(x)$ 与更高次数的 ${\mathbb{P}}_{k-1}$ 正交

证明思路
必要性：（1）容易得到，（2）只需注意到 ${\omega }_{n+1}(x)P(x)\in {\mathbb{P}}_{n+k}$

充分性：只需注意到 ${\mathbb{P}}_{n+k}={\omega }_{n+1}(x){\mathbb{P}}_{k-1}+{\mathbb{P}}_n$

参考书籍：《数值分析》李庆扬 王能超 易大义 编