高等数学：巧解二重积分之五大对称性

老牧童 • 2025-05-31 22:33 • 未分类

高等数学：巧解二重积分之五大对称性1 积分区域 D 关于 x 轴对称如果被积函数是关于的奇函数即则如果被积函数是关于的偶函数即记为轴以上区域则 2 积分区域 D 关于 y 轴对称如果被积函数是关于的奇函数即则如果被积函数是关于的偶函数

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1 积分区域D关于x轴对称

如果被积函数是关于的奇函数，即，则

$\iint\limits_D\ f(x,y)d\sigma =0$

如果被积函数是关于的偶函数，即，记 $D_{1}$ 为轴以上区域，则

$\iint\limits_D\ f(x,y)d\sigma =2\iint\limits_{D_{1}}\ f(x,y)d\sigma$

2 积分区域D关于y轴对称

如果被积函数是关于的奇函数，即，则

$\iint\limits_D\ f(x,y)d\sigma =0$

如果被积函数是关于的偶函数，即，记 $D_{1}$ 为轴右侧区域，则

$\iint\limits_D\ f(x,y)d\sigma =2\iint\limits_{D_{1}}\ f(x,y)d\sigma$

3 积分区域D关于x轴和y轴都对称

如果或，则

$\iint\limits_D\ f(x,y)d\sigma =0$

如果，，记 $D_{1}$ 为第一象限区域，则

$\iint\limits_D\ f(x,y)d\sigma =4\iint\limits_{D_{1}}\ f(x,y)d\sigma$

4 积分区域D关于原点对称

如果，则

$\iint\limits_D\ f(x,y)d\sigma =0$

如果，记 $D_{1}=\left \{ (x,y)\epsilon D\mid x\geq 0 \right \}$ ，则

$\iint\limits_D\ f(x,y)d\sigma =2\iint\limits_{D_{1}}\ f(x,y)d\sigma$

5 积分区域D关于直线y=x对称

如果，则

$\iint\limits_D\ f(x,y)d\sigma =0$

如果，记 $D_{1}=\left \{ (x,y)\epsilon D \mid y\geqslant x\right \}$ ,则

$\iint\limits_D\ f(x,y)d\sigma =2\iint\limits_{D_{1}}\ f(x,y)d\sigma$

轮换对称性：若积分区域D关于直线y=x对称，则

$\iint\limits_D\ f(x,y)d\sigma =\iint\limits_D\ f(y,x)d\sigma =\frac{1}{2}\iint\limits_D\ [f(x,y)+ f(y,x)]d\sigma$

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