两向量的夹角

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怎么计算两个向量间的夹角呢？

这里主要分两种情况，对于二维向量和三维向量来分别讨论。

1. 二维向量

二维向量的情况相对简单，根据向量间的点乘关系

$$v_1 \cdot v_2 = ||v_1||||v_2||cos\theta$$

可以得到：

$$\theta = acos(v_1\cdot v_2/||v_1||||v_2||)$$

如果调用C/C++数学库函数acos，计算得到的结果的取值范围在

[0,π]
$[0,\pi]$。

这里得到的夹角并不在0到360度之间（或者-180到180度），也就是说得到的结果并不能告诉我们$v_1$在$v_2$前面或者$v_1$在$v_2$后面，考虑到atan2函数可以用来计算出角度准确处于哪一个象限，可以用atan2来计算夹角。
计算从v2到v1的夹角公式：

$$\theta = atan2(v_2.y, v_2.x) - atan2(v_1.y, v_1.x)$$

需要注意的是：atan2的取值范围是$[-\pi, \pi]$，在进行相减之后得到的夹角是在$[-2\pi, 2\pi]$，因此当得到的结果大于$\pi$时，对结果减去$2\pi$，当结果小于$-\pi$时，对结果加上$2\pi$

2. 三维向量

2.1 使用旋转轴和旋转角的方式

旋转角可以使用上面讨论的方式得到：

$$\theta = acos(v_1\cdot v_2/||v_1||||v_2||)$$

旋转轴是两个向量的叉乘向量，长度是

||v1||||v2||sin(θ)
$||v_1||||v_2||sin(\theta)$

需要注意的是在acos取值在0度和180度这两个特殊值的时候，要注意一下，当两个向量夹角是0度或者180度的时候，它们是平行的关系（同向或者反向），当夹角是0度时，旋转轴可以是任意轴，因为根本就没有旋转。当夹角是180度的时候，旋转轴只要和向量呈90度夹角即可，可以有无穷多个可能的选择轴。

2.2 使用四元数的方式

使用四元数来旋转一个向量，使用下面的方式：
p2 = q * p1 * conj(q)
其中：
p2 是旋转之后的向量
p1是旋转之前的向量
q是用来旋转的四元数
在这里知道p2和p1，用来求解四元数还是相当麻烦的。因此一个比较好的思路仍然是使用上面旋转轴和旋转角的方式，不过将结论转换成四元数罢了。
关于转换的方式，可以参考我写的另外一篇文章《旋转变换（三）四元数》

参考文献：

1. Maths – Angle between vectors
2. Maths – Trigonometry – Inverse trig functions
3. Maths – Issues with Relative Angles