二阶等差数列的性质及应用

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1. 通项的证明

首先是一阶等差数列，也即通常所说的等差数列：$a_1,a_2,\ldots,a_n$，满足：

$$\begin{split}&a_2-a_1=d\\&\ldots\\&a_n-a_{n-1}=d\\\end{split}$$

第 $n$ 项 $a_n$，又可根据首项得到：

$$a_n=a_1+(n-1)d$$

我们再来看二阶等差数列的情况，数列 $a_1,a_2,\ldots,a_n$，满足：

$$\begin{split}&(a_3-a_2)-(a_2-a_1)=d\\&\ldots\\&(a_n-a_{n-1})-(a_{n-1}-a_{n-2})=d\end{split}$$

现在想要知道第

n
$n$ 项和首项



a1

$a_1$之间的关系。

证明如下：

$$(a_n-a_{n-1})=(a_2-a_1)+(n-2)d\\\Downarrow\\a_n=(a_2-a_1)+(n-2)d+a_{n-1}$$

据此得到

an
$a_n$ 的递推关系，不断地对

an−1,an−2
$a_{n-1}, a_{n-2}$进行展开，最终得：

$$a_n=(n-1)(a_2-a_1)+\frac{(n-1)(n-2)}2d+a_1$$

2. 分析

• 对于二阶等差数列而言，给出三项才能确定通项等等；
  
  • $a_3,a_2,a_1$ ⇒
    
    • $a_2-a_1$,
    • $a_3-2a_2+a_1=d$

二阶等差数列的简单判断：

$$\left\{\begin{array}{l}(a_3-a_2)-(a_2-a_1)=a_3-2a_2+a_1=d\\(a_4-a_3)-(a_3-a_2)=a_4-2a_3+a_2=d\end{array}\right.$$

只需验证前 4 项的关系，如果不符合以上两个等式，如果不相等，则一定构不成二阶等差数列。