6.1.3 一阶线性方程的线性、齐次与通解公式

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6.1.3一阶线性常微分方程的线性、齐次与通解公式

6.1.3节的内容理解与补充¹
以下一律讨论常微分方程，一般形式¹

$$y^{\prime }+g(x)y=h(x)\text{\hspace{1em}(1)}$$
《数值分析》¹中为了解这个方程，搞了个积分因子，但过于省略。于是自己网上查了查通解公式怎么来的，顺便弄清楚了常微分方程的线性和齐次是啥。

一、一阶

就是最高只有y的一阶导数

二、线性²

2.1 线性系统

线性系统 y=H(x) 的性质可以从经典的正比例函数y=kx的角度去感觉。
a. 输入x乘以某个数，则输出y也乘以某个数。这个性质被称为：
齐次性：
$$H(x+x)=H(x)+H(x)$$
b. 两个x1和x2的和的输入，等于输入的和，这个性质被称为：
可加性：
$$H(x1+x2)=H(x1)+H(x2)$$
可加性和齐次性合在一起就成了，最常见的，描述线性系统的公式：
$$H(ax1+bx2)=aH(x1)+b(x2)$$

2.2 常微分方程的线性

上面说的系统，对于常微分方程来说，是对y的所有操作。
在(1)式中就是等式的左边部分，具体的操作输出了导数和原函数的一个加权和。
$$H(y)=y^{\prime }+g(x)y\text{\hspace{1em}(2.2.1)}$$
我们看下线性系统的两个性质的体现：
齐次性：
$$H(2y)=(2y{)}^{\prime }+g(x)(2y)=2H(y)$$
可加性：
$$H(y_1+y_2)=(y_1+y_2{)}^{\prime }+g(x)(y_1+y_2)=y_1^{\prime }+g(x)y_1+y_2+g(x)y_1=H(y_1)+H(y_2)$$
举一个非线性的例子，很容易想到y^2
$$H(y)=y^{\prime }+y^2$$
则
$$H(2y)=2y^{\prime }+4y^2\ne 2y^{\prime }+2y^2=2H(y)$$

三、齐次³

上面一小节已经提到了一次齐次性了，齐次就是数乘不变。
上面提到的是微分操作的数乘不变性。而齐次微分方程的齐次，是指解的齐次不变性。也就是指方程的解，数乘之后还是该方程的解。
比如方程对(1)式取g(x)=-1, h(x)=0，则方程为:
$$y^{\prime }-y=0$$
则y=exp(x)是方程的解，同样a·y也是方程的解（a为任意常数）
$$(a{e}^x{)}^{\prime }-a{e}^x=0$$
但如果h(x)取非0，方程就不是齐次的了。这和2.1节开头提到的正比例函数是y=kx的解是齐次的，但一次函数y=kx+c（c≠0）的解不再齐次十分类似

四、一阶线性方程的解法⁴

4.1 一阶线性齐次方程：

以第三节的例子为例，一阶线性齐次方程可以用分离变量法，获得解析解。
$$y^{\prime }+g(x)y=0\text{\hspace{1em}(4.1.1)}$$
解为
$$y=C{e}^{-{\int }_{}^{}g(x)dx}\text{\hspace{1em}(4.1.2)}$$

4.2 一阶线性非齐次方程：

就像化学式配平一样，对于一阶线性非齐次的方程
$$y^{\prime }+g(x)y=h(x)\text{\hspace{1em}(4.2.1)}$$
齐次方程的解已经足够y守恒了，现在要配出一个h(x)，并且配的时候不影响y的守恒。
那么会看第三章对齐次的定义，也就是数乘不变，我们可以对式(4.1.2)乘一个x或者含有x的函数u(x)，来尝试作为非齐次方程(4.2.1)的解。这样是不影响y的守恒的，因为如果仅仅把y看做未知数（这也是应该的，毕竟是关于y的常微分方程），x以及u(x)都可以看做常数。而对(4.1.2)乘以一个常数，不改变它是方程(4.1.1)的解，因为方程是齐次的。
于是我们将
$$y=u(x)e^{-{\int }_{}^{}g(x)dx}$$
代入式(4.2.1)，得到：
$$\begin{gathered} [u(x)e^{-{\int }_{}^{}g(x)dx}{]}^{\prime }+g(x)u(x)e^{-{\int }_{}^{}g(x)dx}=h(x) \\ {u}^{\prime }(x)e^{-{\int }_{}^{}g(x)dx}+u(x)e^{-{\int }_{}^{}g(x)dx}\times [-g(x)]+g(x)u(x)e^{-{\int }_{}^{}g(x)dx}=h(x) \\ {u}^{\prime }(x)=h(x)e^{{\int }_{}^{}g(x)dx} \\ u(x)=C+{\int }_{}^{}h(x)e^{{\int }_{}^{}g(x)dx} \end{gathered}$$
从而获得了(4.2.1)的通解公式：
$$y=e^{-{\int }_{}^{}g(x)dx}[C+{\int }_{}^{}h(x)e^{{\int }_{}^{}g(x)dx}dx]$$

五 例题⁵

$$\begin{gathered} y^{\prime }-y=x,则g(x)=-1,h(x)=x \\ {\int }_{}^{}g(x)dx=-x \\ y=e^x[C+{\int }_{}^{}x{e}^{-x}dx] \\ 其中，{\int }_{}^{}x{e}^{-x}dx=-{\int }_{}^{}xd{e}^{-x}=-[x{e}^{-x}-{\int }_{}^{}{e}^{-x}dx]=-x{e}^{-x}-e^{-x} \\ 则：y=C{e}^x-x-1 \end{gathered}$$
可代入原方程验证

六 实例

RC电路