【数学分析】一致连续的一些证明方法

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• 一致连续是函数的一个重要性质。与注重于函数在“一点”情况的连续性刻画不同，一致连续是对函数在一个区间性质的刻画。
• 一致连续的定义如下：

  $$\begin{gathered} 设f(x)在区间X上有定义。如果\forall ϵ>0,\exists \delta >0,s.t. \\ \forall x_1,x_2\in X, \\ 只要|x_1-x_2|<\delta ,都有 \\ |f(x_1)-f(x_2)|<ϵ, \\ 就称f(x)在X上一致连续。 \end{gathered}$$.

  • 注意：如果函数在大区间上一致连续，则函数在小区间上也一致连续
• 一致连续还有一个由振幅刻画的充要条件：

  $$\begin{gathered} 设f(x)在区间X上有定义，则f(x)在X上一致连续⟺ \\ \forall ϵ>0,\exists \delta >0,s.t. \\ 对任意闭子区间I\subset X,只要l(I)<\delta ,都有 \\ {\omega }_f(I)<ϵ,l(I)表示区间长度 \end{gathered}$$.

  • 注：这个定理的证明是容易的

    一致连续的振幅刻画.pdf 懒得打Latex了

• 对于一致连续的另一个等价刻画是这样的：

  f ( x ) 在区间 I 上一致连续    ⟺    ∀ { x n 1 } , { x n 2 } ⊂ I , 只要 x n 1 − x n 2 → 0 , n → + ∞ 就有 f ( x n 1 ) − f ( x n 2 ) → 0 ( n → ∞ ) f(x)在区间I上一致连续\iff\\\forall \{x_{n1}\},\{x_{n2}\}\sub I,只要x_{n1}-x_{n2}\rightarrow 0,n\rightarrow +\infty\\就有f(x_{n1})-f(x_{n2})\rightarrow 0(n\rightarrow \infty) f(x)在区间I上一致连续⟺∀{
  xn1​},{
  xn2​}⊂I,只要xn1​−xn2​→0,n→+∞就有f(xn1​)−f(xn2​)→0(n→∞).

  • 注：这个证明也不复杂，对于右推左考虑反证法
• 例：$$\begin{gathered} 若f(x)在[a,c],[c,b]上一致连续，那么f(x)在[a,b]上也一致连续 \\ 证明：只要考虑x_1\in [a,c],x_2\in [c,b]的情况： \\ |f(x_1)-f(x_2)|\le |f(x_1)-f(c)|+|f(x_2)-f(c)|,得证 \end{gathered}$$.
  • 注意：此处使用的绝对值不等式之后还会多次使用。事实上，在证明与一致连续相关的结论时，这是一个很好的工具
• 例：$f(x)在有穷开区间(a,b)上一致连续，那么f(x)在(a,b)上有界$

  不想打字X2

  • 注：这里采取分类讨论的思想，因为在闭区间上函数有界很好说明，
• 闭区间有限开覆盖定理：以及Cantor定理的互推（较繁琐）
• 定理：$$\begin{gathered} 设f(x)在有穷开区间(a,b)上连续， \\ 则f(x)在(a,b)上一致连续的充要条件是 \\ {\lim }_{x\to a^{+}}f(x)与{\lim }_{x\to b^{-}}f(x)都存在 \end{gathered}$$.
  • 如果将有穷区间改为无穷区间，那么必要性不再成立，但是充分性依然成立。
• 最后介绍一个非常有用的证函数在某区间一致连续的方法：

函数在某个区间内一致连续的充分条件是在区间内其导数有界。

证明：
由拉格朗日中值定理，有：
$$\begin{gathered} f(x_1)-f(x_2)=f^{\prime }(\xi )(x_1-x_2) \\ \therefore |f(x_1)-f(x_2)|\le |M(x_1-x_2),f在区间上莱普西斯连续， \\ ⟹f在区间上一致连续 \end{gathered}$$

• 这个定理在证明函数一致连续的方便之处在于：对于一个函数，观察其导数有界与否是简单的，但是按照原定义证明一致连续往往比较复杂。
• 例题：$$\begin{gathered} 证：f(x)=\frac{1}{x}\sin \frac{1}{x}在[1,+\infty ]一致连续 \\ {f}^{\prime }(x)=\frac{-\frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}-\sin \frac{1}{x}}{x^2} \\ |f^{\prime }(x)|\le |\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^2}|\le 2,即f^{\prime }(x)有界，得证. \end{gathered}$$