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1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n第一个n0时结论正确；②假设当n=k（k∈N+,k≥n0）时，结论正确，证明当n=k+1时，结论成立.
⑵第二数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果
①当n=n0（n0∈N+）时，P（n）成立；
②假设当n≤k（k∈N+,k≥n0）时，P(n)成立，推得n=k+1时，P(n)也成立.
那么，根据①②对一切自然数n≥n0时，P(n)都成立.
2. ⑴数列极限的表示方法：
①
②当n→∞时，an→a.
⑵几个常用极限：
①
（C为常数）
②
③对于任意实常数，
当|a|<1时，
当|a|=1时，若a = 1，则
；若a=-1，则
不存在
当|a|>1时，
不存在
⑶数列极限的四则运算法则：
如果
，那么
①
②
③
特别地，如果C是常数，那么
⑷数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当|q|<1时，无穷等比数列的各项和为S=a₁/(1-q)(|q|<1).
（化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限.
3. 函数极限；
⑴当自变量x无限趋近于常数x0但不等于x0）时，如果函数F(x)无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0，函数F(x)的极限为a.记作
或当x→x0时，F(x)→a.
注：当x→x0时，F(x)是否存在极限与F(x)在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x=x0（当然，F(x)在x0是否有定义也与F(x)在x0是否存在极限无关＝＞函数F(x)在x0有定义是
存在的既不充分又不必要条件.）
如
在x=1处无定义，但
存在，因为在x=1处左右极限均等于零.
⑵函数极限的四则运算法则：
如果
，那么
①
②
③
特别地，如果C是常数，那么
注：①各个函数的极限都应存在.
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.
⑶几个常用极限：
4. 函数的连续性：
⑴如果函数f（x），g（x）在某一点x=x0连续，那么函数f(x)±g(x),f(x)·g(x),f(x)/g(x)(g(x)≠0)在点x=x0处都连续。
⑵函数f（x）在点x=x0处连续必须满足三个条件：
①函数f（x）在点x=x0处有定义；
②
存在；
③函数f（x）在点x=x0处的极限值等于该点的函数值，即
⑶函数f（x）在点x=x0处不连续（间断）的判定：
如果函数f（x）在点x=x0有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点.
①f（x）在点x=x0处没有定义，即f(x0)不存在；
②
不存在；
③
存在，但
5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：
⑴零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0.那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ζ（a＜ζ<b）使f(ζ)=0.
⑵介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同函数值,f(a)=A,f(b)=B，那么对于A,B之间任意的一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ζ，使得f(ζ)=C(a<ζ<b).
⑶夹逼定理：设当0<|x-x0|<σ时，有g(x)≤f(x)≤h(x)，且
，则必有
注：|x-x0|：表示以x0为的极限，则|x-x0|就无限趋近于零.（ζ为最小整数）
6. 几个常用极限：
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