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序
复数ABC
是2维的数，其全体构成是复平面
，这是认识复数最方便的几何对象。我们中学接触的实数域上的连续函数，都可以在坐标系下画出曲线；然而，以复数作为变量的函数——复变函数，在复平面上是无法画出曲线的，因为复变函数本质上是复平面到自身的变换。
）是平移变换，乘法（
）是旋转和伸缩变换。欧拉公式（
）十分直白地体现了复数乘法的特性：
相乘，辐角
相加。
幂函数
，用欧拉公式去表示，
其几何意义很显然：将模长变成原来的n次方，辐角扩大为n倍。
对于复平面的作用，我们看到原来的正交的网格变成了彼此正交的抛物线（即所谓的共形变换），请读者自行证明。
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，即平方函数的反函数有重要的意义，它形象生动地解释了为什么平方根有两个，即
当我们围绕支点（上图原点）正向旋转，当我们处于这样的空间：原地旋转6圈才能回到起点，这听起来就像是科幻小说。
多项式函数
，即重根的情况。这样一来，多项式函数
可以视为对复平面逐次进行乘积变换。为方便讨论，我们不妨令多项式函数的首项系数
.
表示恒等映射，即
-
当
时，复平面沿着
方向平移了
个单位；
-
当
时，如下图，设
和
是多项式的两个零点，即
和
，
是复平面上其他任意一点
. 两个橙色向量恰好就代表着复数
.
-
，其模长即是两复数模长乘积，关键在
辐角：两辐角之和
.
沿着包围
和
的绿色大圆转一圈，你会发现，
的辐角增加了
——两圈！这相当于绕着两个零点各转了一圈。
绕着
正向旋转一周时，复数
的辐角
始终在一个很小的范围变化，即
，辐角
对
并没有贡献。
特别地，让
两点逐渐重合
，函数就退化为重根的情形：
这与我们讨论过的平方函数是一回事。
让我们回到非重根的情形。多项式的像
在每个根
局部，和复平面上一点局部类似，此时绕着某个根
旋转，和绕一次函数
的效果是一样的，辐角的增加都是
；然而当闭曲线充分远离全体根，
的拓扑特性开始显现，从而实现原像复平面转1周，像
上就会转
周，同理可得，对于
而言会转
周。
表示函数沿着曲线
转动所增加的辐角，其中
与
分别表示 在
的内部的零点和极点的个数，而我们考虑的是多项式函数，不存在极点，即
，所以对于多项式函数的辐角定理：
次代数方程在复数域有
个根。
次多项式，沿半径充分大的圆的辐角增量一定是
，于是一定有
个零点。而根据儒歇定理（Rouche’s theorem），多项式函数的辐角变化，当圆充分大时，只取决于最高次幂
（其他较低次幂的项与之相比微不足道），而幂函数的辐角增量和次数
相关，从而一举完成了代数基本定理的证明。
因为我们画的各种曲面
，本就是基于多项式的分解。
不过，相信这样的分析不是徒劳的。
跋
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